Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dx
ds
=
l,
dy
ds
=
m,
dz
ds
=
n,
dx'
ds'
=
l',
dy'
ds'
=
m',
dz'
ds'
=
n'
(2)
и
l(x'-x)
+
m(y'-y)
+
n(z'-z)
=
r cos ,
l'(x'-x)
+
m'(y'-y)
+
n'(z'-z)
=-
r cos ',
ll'
+
mm'
+
nn'
=
cos ,
(3)
где -
cos
=
–
cos
cos '
+
sin
sin '
cos
.
(4)
Далее,
r^2
=
(x'-x)^2
+
(y'-y)^2
+
(z'-z)^2
,
(5)
отсюда
r
dr
ds
=
–
(x'-x)^2
dx
ds
–
(y'-y)^2
dy
ds
–
(z'-z)^2
dz
ds
,
=
– r
cos
.
Аналогично
r
dr
ds'
=
–
(x'-x)^2
dx'
ds'
–
(y'-y)^2
dy'
ds'
–
(z'-z)^2
dz'
ds'
,
=
– r
cos '
(6)
и, дифференцируя r(dr/ds) по s',
r
d^2r
dsds'
+
dr
ds
dr
ds'
=
–
dx
ds
dx'
ds'
–
dy
ds
dy'
ds'
–
dz
ds
dz'
ds'
,
=
– (
ll'
+
mm'
+
nn'
),
=
– cos
.
(7)
Мы можем поэтому выразить три угла , ' и и вспомогательный угол через производные от r по s и s' следующим образом:
cos
=
–
dr
ds
,
cos '
=
–
dr
ds'
,
cos
=
– r
d^2r
dsds'
–
dr
ds
dr
ds'
,
sin sin ' cos
=
– r
d^2r
dsds'
.
(8)
513.
Мы видели, что каждый элемент можно считать разложенным на другие элементы при условии, что эти составляющие, если их скомбинировать по правилу сложения векторов, дадут в качестве своей результирующей исходный элемент.
Рис. 30
Мы будем поэтому рассматривать элемент ds разложенным на cos ds= в направлении r и на sin ds= - в направлении, перпендикулярном к r в плоскости P'PQ [рис. 30].
Будем также рассматривать элемент ds' разложенным на cos 'ds'=' в направлении, обратном r, на sin ' cos ds'=' - в направлении, параллельном тому, в котором измерен , и на sin ' sin ds'=' - в направлении, перпендикулярном ' и '.
Рассмотрим действие между составляющими и , с одной стороны, и между ', ', ' - с другой.
(1). и ' лежат на одной прямой. Сила между ними должна быть поэтому тоже направлена вдоль этой прямой. Будем считать её притягивающей, A'ii', где A есть функция r, а i, i' - интенсивности токов соответственно в ds и ds'. Это выражение удовлетворяет условию изменения знака перед i и перед i'.
(2). и ' параллельны друг другу и перпендикулярны линии, их соединяющей. Действие между ними записывается так: B'ii'.
Эта сила действует, очевидно, вдоль линии, соединяющей и ' ибо она должна быть в плоскости, в которой лежат эти составляющие, и если бы мы измерили и ' в обратном направлении, то это выражение осталось бы неизменным, значит, если оно представляет силу, то такую, у которой нет составляющих в направлении и которая, следовательно, должна быть направлена по r. Будем считать, что это выражение, когда оно положительно, соответствует притяжению.
(3). и ' перпендикулярны друг к другу, а также к линии, их соединяющей. Единственным возможным действием между расположенными так элементами является пара сил с осью, параллельной r. Но мы сейчас заняты самими силами и поэтому оставим это в стороне.
(4). Действие и ' (если они вообще действуют друг на друга) должно выражаться так: C'ii'.
Знак этого выражения обращается на противоположный при обращении направления, в котором мы измеряем '. Поэтому оно должно представлять собой либо силу в направлении ', либо момент пары сил в плоскости и '. Поскольку мы не изучаем пары, то будем принимать его за силу, действующую на в направлении '.
Существует, конечно, и равная ей сила, действующая на ' в противоположном направлении.
По той же причине мы имеем силу C'ii', действующую на в направлении ', и силу C'ii', действующую на в направлении, противоположном тому, в котором измеряется .