Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dX
ds
=
B+C
2
r
(l+m+n)
+Q
(s',0)
+m
s'
0
B-C
2
m'-l'
r
ds'
– n
s'
0
B-C
2
l'-n'
r
ds'
.
(21)
Когда s'
'
=
s'
0
B-C
2
n'-m'
r
ds'
,
'
=
s'
0
B-C
2
l'-n'
r
ds'
,
'
=
s'
0
B-C
2
m'-l'
r
ds'
(22)
(где интегрирование распространено на замкнутый контур s'), то мы сможем записать
dX
ds
=
m'-n'
и аналогично
dY
ds
=
n'-l',
dZ
ds
=
n'-l'.
(23)
Величины ', ', ' иногда называют определителями контура s' относительно точки P а их результирующая названа Ампером директрисой электромагнитного действия.
Из этого уравнения очевидно, что сила, имеющая компоненты (dX/ds)ds, (dY/ds)ds и (dZ/ds)ds, перпендикулярна как к элементу ds, так и к его директрисе; эта сила представлена численно площадью параллелограмма, сторонами которого являются элемент ds и директриса действия.
На языке кватернионов результирующая сила, действующая на ds, есть векторная часть произведения директрисы на ds.
Поскольку мы уже знаем, что директриса есть то же самое, что и магнитная сила, обусловленная единичным током в контуре s', то далее мы будем говорить о директрисе, как о создаваемой контуром магнитной силе.
518. Теперь мы завершим вычисления составляющих силы, действующей между двумя конечными токами, замкнутыми или разомкнутыми.
Пусть будет новой функцией r, такой, что
=
r
(B-C)
dr
,
(24)
тогда в силу (17) и (20)
A+B+2C
=
r
d^2
dr^2
(Q+)
–
d
dr
(Q+)
,
(25)
и уравнения (11) становятся такими:
R
=-
d
dr
cos
+
r
d^2
dsds'
(Q+)
,
S
=-
dQ
ds'
,
S'
=-
dQ
ds
.
(26)
При
d^2X
dsds'
=
– cos
d
dr
r
+
d^2
dsds'
(Q+)
– l
dQ
ds'
+l'
dQ
ds
,
=
cos
d
dx
+
d^2{(Q+)}
dsds'
+l
d
ds'
– l'
d
ds
.
(27)
519. Пусть
F
=
s
0
l
ds
,
G
=
s
0
m
ds
,
H
=
s
0
n
ds
,
(28)
F'
=
s'
0
l'
ds'
,
G'
=
s'
0
m'
ds'
,
H'
=
s'
0
n'
ds'
.
(29)
Эти величины имеют определённые значения для любой заданной точки пространства. Для замкнутых контуров они соответствуют составляющим вектор-потенциалов контуров.
Пусть L будет новой функцией r, такой, что
L
=
r
0
r(Q+)
dr
,
(30)
и пусть M будет двойным интегралом
s'
0
s
0
cos
ds
ds'
,
(31)
который для замкнутых контуров становится их взаимным потенциалом; тогда уравнение (27) может быть записано в виде
d^2X
dsds'
=
d^2
dsds'
dM
dx
–
dL
dx
+F
– F'
.
(32)
520. Интегрируя по s и s' между заданными пределами, находим
X
=
dM
dx
–
d
dx
(
L
PP'
–
L
AP'
–
L
A'P
+
L
AA'
),
+
F
P'
–
F
A'
–
F'
P
+
F'
A
,
(33)
<