Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
514. Собирая вместе наши результаты, мы находим, что сила, действующая на ds, составляется из следующих сил:
X
=
(A'+B')ii'
в направлении
r
,
Y
=
C('-')ii'
в направлении
,
Z
=
C'ii'
в направлении
'
.
(9)
Предположим, что это действие на ds является результирующей трёх сил: силы Rii'dsds', действующей в направлении r, силы Sii'dsds',
R
=
(A+2C)
cos
cos '
+
B
sin
sin '
cos
S
=
– C
cos '
,
S'
=
C
cos
.
(10)
В выражении через производные от r
R
=
(A+2C)
dr
ds
dr
ds'
–
Br
d^2r
dsds'
,
S
=
C
dr
ds'
,
S'
=
– C
dr
ds
(11)
В выражении через l, m, n и l', m', n'
R
=
– (A+2C+B)
1
r^2
(l+m+n)
(l'+m'+n')
+
+
B
(ll'+mm'+nn')
,
S
=
C
dr
ds'
(l'+m'+n')
,
S'
=
– C
dr
ds
(l+m+n)
.
(12)
где , , написаны взамен x'-x, y'-y, и z'-z соответственно.
515. Далее мы должны подсчитать силу, с которой конечный участок тока s' действует на конечный участок тока s. Участок тока s тянется от A, где s=0, до P, где оно имеет значение s, а участок тока s' тянется от A', где s'=0, до P', где оно имеет значение s'. Координаты точек на любом из токов являются функциями s или s'.
Если F есть функция положения точки, то мы будем употреблять нижний индекс (s,0) для обозначения превышения значения этой функции в P над её значением в A, т.е. F(s,0)=FP– FA. Для замкнутых контуров эти функции с необходимостью исчезают.
Пусть ii'X, ii'Y и ii'Z будут составляющими полной силы, с которой A'P' действует на AP. Тогда параллельная X составляющая силы, с которой ds' действует на ds, будет равна
ii'
d^2X
dsds'
ds
ds'
.
Откуда
d^2X
dsds'
=
R
r
+
Sl
+
S'l'
.
(13)
Подставляя значения R, S и S' из (12) и помня, что
(l'+m'+n')
=
r
dr
ds'
,
(14)
и
d^2X
dsds'
=
l
– (A+2C+B)
1
r^2
dr
ds'
^2
+C
dr
ds'
+(B+C)
l'
r
+
m
– (A+2C+B)
1
r^2
dr
ds'
+C
l'
r
+B
m'
r
+
n
– (A+2C+B)
1
r^2
dr
ds'
+C
l'
r
+B
n'
r
.
(15)
Так как A, B и C являются функциями r, мы можем записать
P
=
r
(A+2C+B)
1
r^2
dr
,
Q
=
r
C
dr
.
(16)
Здесь интегрирование проводится между r и , поскольку A, B, C исчезают при r=.
Следовательно,
(A+2C+B)
1
r^2
=-
dP
dr
,
C
=-
dQ
dr
.
(17)
516. Но мы знаем, что, согласно третьему случаю равновесия Ампера, когда s' является замкнутым контуром, сила, действующая на ds, перпендикулярна к направлению ds, или, другими словами, составляющая силы в направлении самого элемента ds равна нулю. Предположим в связи с этим, что направление оси x параллельно ds, т.е. положим l=1, m=0, n=0. Уравнение (15) тогда станет таким:
d^2X
dsds'
=
dP
ds'
–
dQ
ds'
+(B+C)
l'
r
.
(18)
Чтобы найти dX/ds, т.е. силу на ds, отнесённую к единице длины, мы должны проинтегрировать это выражение по s'. Интегрируя первый член по частям, находим
dX
ds
=
(P^2-Q)
(s',0)
–
s'
0
(2Pr-B-C)
l'
r
ds'
.
(19)
Когда s' составляет замкнутый контур, это выражение должно быть нулём. Первый его член исчезнет сам. Второй член, однако, в случае замкнутого контура, вообще говоря, не исчезает, если величина, стоящая под знаком интеграла, не обращается тождественно в нуль. Следовательно, чтобы удовлетворить условию Ампера, мы должны положить
P
=
1
2r
(B+C)
.
(20)
517. Мы можем теперь исключить P и найти общее выражение для dX/ds