Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Если T - кинетическая энергия системы, и она за счёт действия бесконечно малого импульса сил с компонентами p1,p2,… становится равной T+T, то приращение T должно быть суммой количества работ, совершаемых составляющими импульса силы, или в формульном представлении
T
=
q
1
p
1
+
q
2
p
2
+…,
=
(qp)
.
(1)
Мгновенное
Полная вариация Tp равна
T
p
=
dTp
dp
p
+
dTp
dq
q
.
(2)
Последний член может быть записан в виде
dTp
dq
q
t
,
он уменьшается вместе с t и в пределе, когда импульс силы становится мгновенным, исчезает.
Следовательно, приравнивая в уравнениях (1) и (2) коэффициенты перед p, получаем
q
=
dTp
dp
,
(3)
или, скорость, соответствующая переменной q равна частной производной от Tp по соответствующему импульсу p.
Мы пришли к этому результату, рассматривая импульсные силы и тем самым избежав рассмотрения изменения конфигурации системы за время их действия. Но мгновенное состояние системы оказывается одним и тем же во всех отношениях независимо от того, была ли система приведена в данное состояние движения из состояния покоя путём приложения к ней короткодействующих импульсных сил или же система пришла в это состояние каким-то другим способом, хотя бы и постепенным.
Другими словами, и переменные, и соответствующие скорости, и импульсы зависят от фактического состояния движения системы в данный момент, а не от его предыстории.
Следовательно, уравнение (3) одинаково справедливо, предполагаем ли мы, что состояние движения системы обусловлено импульсными силами или силами, действующими каким бы то ни было другим способом.
Мы можем поэтому устранить из рассмотрения импульсные силы вместе со всеми ограничениями, налагаемыми на продолжительность их действия и на изменения конфигурации системы в течение их действия.
Уравнения движения Гамильтона
561. Мы показали уже, что
dTp
dp
=
q
,
(4)
Пусть система движется произвольным образом, подчиняясь наложенным на неё связям,
p
=
dp
dt
t
,
q
=
q
t
.
(5)
Отсюда
dTp
dp
p
=
dp
dt
q
t
, =
dp
dt
q
,
(6)
а полная вариация Tp равна
T
p
=
dTp
dp
p
+
dTp
dq
q
,
=
dp
dt
+
dTp
dq
q
.
(7)
Но приращение кинетической энергии появляется за счёт работы, совершаемой приложенными силами, т.е.
T
p
=
(
q
).
(8)
Вариации q, входящие в эти два выражения, независимы, и мы вправе приравнять в (7) и (8) коэффициенты при них. В результате получаем
F
r
=
dp
r
+
dT
p
,
dt
dq
r
(9)
где импульс pr и сила Fr, относятся к переменной qr.
Уравнений такого вида существует столько же, сколько и переменных. Эти уравнения получены Гамильтоном. Они показывают, что сила, соответствующая какой-либо переменной, представляется в виде суммы двух частей. Первая есть скорость увеличения во времени импульса, относящегося к данной переменной. Вторая часть есть скорость увеличения кинетической энергии, приходящейся на единицу приращения данной переменной при условии, что другие переменные, а также все импульсы остаются постоянными.
Кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости
562. Пусть p1,p2,… - импульсы, а q1,q2,… - скорости в данный момент времени, и пусть p1,p2,…, q1,q2,… - другая система импульсов и скоростей, таких, что
p
1
=np
1
,
q
1
=nq
1