Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Таким образом, наши знания об электрических токах достаточны для того, чтобы распознать в системе материальных проводников, несущих токи, динамическую систему, являющуюся резервуаром энергии, одна часть которой может быть кинетической, а другая - потенциальной.
Природа связей отдельных частей этой системы между собой нам неизвестна, однако, поскольку в нашем распоряжении имеются динамические методы исследования, не требующие знания устройства системы, мы и применим их к этому случаю.
Вначале мы изучим те следствия, к которым приводит предположение о наиболее общем виде функции, выражающей кинетическую энергию системы.
571. Пусть система состоит из проводящих контуров, форма
Если бы вся кинетическая энергия системы была обусловлена движением этих проводников, она выражалась бы формулой
T
=
1
2
(x
1
x
1
)
x
1
^2
+…+
(x
1
x
2
)
x
1
x
2
+…,
где символы (x1x1),… обозначают величины, которые мы назвали моментами инерции, а (x1x2),… обозначают произведения инерции.
Если X' - приложенная сила (стремящаяся увеличить координату x), необходимая для осуществления истинного движения, то, согласно уравнению Лагранжа,
d
dx
dT
dx
–
dT
dx
=
X'
.
Когда T обозначает энергию, обусловленную только видимым движением, мы будем отмечать её нижним индексом m, т.е. как Tm.
Но в системе проводников, несущих электрические токи, часть кинетической энергии обусловлена существованием этих токов. Пусть движение электричества, а также всего того, чьим движением оно управляет, определяется другим набором координат y1,y2,…; тогда T будет однородной функцией квадратов и произведений всех скоростей двух наборов координат. Мы, таким образом, можем разделить T на три части, в первой из которых Tm встречаются только скорости координат x, во второй Te– только скорости координат y, а в третьей Tme каждый член содержит произведение скоростей двух координат, одной из которых является x, а второй - y.
Таким образом, мы имеем
T
=
T
m
+
T
e
+
T
me
,
где
T
m
=
1
2
(x
1
x
1
)
x
1
^2
+…+
(x
1
x
2
)
x
1
x
2
+…,
T
e
=
1
2
(y
1
y
1
)
y
1
^2
+…+
(y
1
y
2
)
y
1
y
2
+…,
T
me
=
(x
1
y
1
)
x
1
y
1
+….
572.
Действительно, если все электрические токи поддерживаются постоянными, а проводники покоятся, общее состояние поля остаётся неизменным. Но в этом случае координаты y переменны, хотя скорости y постоянны. Следовательно, координаты y не могут входить в выражение для T или в другие выражения, относящиеся к чему-либо реальному.
Кроме того, согласно уравнению непрерывности, если проводники по своему характеру являются линейными контурами, для выражения силы тока в каждом из них требуется только одна переменная. Пусть скорости y1,y2,…, представляют собой силы токов в нескольких проводниках.
Всё это оставалось бы верным, и если вместо электрических токов мы имели бы потоки несжимаемой жидкости, текущей в гибких трубах. В этом случае скорости потоков вошли бы в выражение для T, но коэффициенты зависели бы только от переменных x, определяющих форму и положение труб.
В случае жидкости её движение в одной трубе не влияет непосредственно на движение любой другой трубы или жидкости в ней. Следовательно, в значение Se входят только квадраты скоростей y, но не их произведения, а в Sme любая скорость y связана лишь с теми скоростями класса x, которые принадлежат её собственной трубе.
Мы знаем, что в случае электрических токов это ограничение не имеет места, поскольку токи в различных контурах действуют друг на друга. Следовательно, мы должны допустить наличие членов, включающих произведения вида y1y2, и это предполагает существование чего-то находящегося в движении, которое зависит от силы обоих электрических токов y1 и y2 эта движущаяся материя, чем бы она ни оказалась, не находится во внутренних областях проводников, несущих оба тока, а, вероятно, распределена во всём окружающем их пространстве.
573. Рассмотрим далее, какой вид принимают уравнения движения Лагранжа в этом случае. Пусть X' - приложенная сила, соответствующая координате x - одной из тех, которые определяют форму и положение проводящих контуров. Она является силой в обычном смысле, т.е. величиной, определяющей тенденцию к изменению положения и задаваемой уравнением
X'
=
d
dt
dT
dx
–
dT
dx
.
Мы можем рассматривать эту силу как сумму трёх частей в соответствии с частями, на которые мы разделили кинетическую энергию системы, различая их с помощью тех же индексов. Таким образом, X'=X'm+X'e+X'me.