Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
,…
(10)
Ясно, что наборы p, q будут совместны друг с другом, если совместны наборы p, q.
Пусть теперь значение n изменяется на n. Работа, совершаемая силой F1 равна
F
1
q
1
=
q
1
p
1
=
q
1
p
1
nn
.
(11)
Если n
(
q
1
p
1
+
q
2
p
2
+…)
1
0
ndn
.
(12)
Но
1
0
ndn
=
1
2
,
а работа, затрачиваемая на создание движения, эквивалентна кинетической энергии. Отсюда
T
pq
=
1/2 (
p
1
q
1
+
p
2
q
2
+…)
,
(13)
где через Tpq обозначена кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости. Переменные q1,q2,… в это выражение не входят.
Таким образом, кинетическая энергия равна полусумме произведений импульсов на соответствующие скорости.
Выраженную в таком виде кинетическую энергию мы будем обозначать символом Tpq Она является функцией только импульсов и скоростей и не включает в себя сами переменные.
563. Существует и третий метод представления кинетической энергии, который обычно рассматривается как основной. Решая уравнения (3), мы можем выразить импульсы через скорости, а затем, вводя эти величины в (13), получим выражение для T, содержащее только скорости и переменные. Когда энергия T выражена в этом виде, мы будем отмечать её символом Tq. Именно в таком представлении кинетическая энергия фигурирует в уравнениях Лагранжа.
564. Ясно, что поскольку Tp, Tq и Tpq– представляют собой три различных выражения для одной и той же величины, то
T
p
+
T
q
–
2T
pq
=0
, или
T
p
+
T
q
–
p
1
q
1
–
p
2
q
2
– …
=0.
(14)
Отсюда, если варьируются все величины p, q, и q, то
dTp
dp1
–
q
1
p
1
+
dTp
dp2
–
q
2
p
1
+…
+
dTq
dq1
–
p
1
q
1
+
dTq
dq2
–
p
2
q
2
+…
+
dTp
dp1
+
dTq
dq1
q
1
+
dTp
dp2
+
dTq
dq2
q
2
+…
=0.
(15)
Вариации p
dTp
dp1
–
q
1
=0,
…,
(16)
и поэтому члены, содержащие вариации p, исчезают сами по себе.
Теперь уже все оставшиеся вариации q и q независимы, так что, приравнивая нулю коэффициенты при q1 и т.д., мы находим
p
1
=
dTq
dq1
,
p
2
=
dTq
dq2
,
…,
(17)
или составляющие импульса равны производным от Tq по соответствующим скоростям.
Далее, приравнивая нулю коэффициенты при q1,…,
dTp
dq1
+
dTq
dq1
=
0,
(18)
или производная от кинетической энергии, выраженная как функция скоростей, равна по величине и противоположна по знаку производной от энергии T, выраженной как функция импульсов.
В силу уравнения (18) мы можем записать уравнение движения (9) так: