Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
.
2 В этих выражениях следует помнить, что 2ch =e+e– , 2sh =e– e– , а другие функции от определены через эти так же, как и соответственные тригонометрические функции.
Метод использования биполярных координат в этом случае дан Томсоном в Liouville's Journal. 1847 г. См. работу Томсона в Electrical Papers, § 211, 212. В своём изложении я использовал исследования проф. Бетти (Nuovo Cimento, vol. XX)
Поскольку заряд каждого изображения пропорционален его параметру а знак его зависит от того, относится ли изображение к типу P или к типу Q, то
P
s
=
Pch -cos
ch(+2s)-cos
,
Q
s
=
–
Pch -cos
ch(2--2s)-cos
,
P'
s
=
Pch -cos
ch(-2s)-cos
,
Q'
s
=
–
Pch -cos
ch(2-+2s)-cos
.
Таким образом, мы нашли положения и величины зарядов для обеих бесконечных последовательностей изображений. Теперь нам остаётся определить полный заряд на сфере A, просуммировав все изображения типа Q и P' расположенные внутри сферы. Эти суммы можно записать в виде
P
ch -cos
s=
s=1
1
ch(-2s)-cos
,
–
P
ch -cos
s=
s=1
1
ch(2--2s)-cos
.
Аналогично полный заряд, индуцированный на B, равен
P
ch -cos
s=
s=1
1
ch(+2s)-cos
,
–
P
ch -cos
s=
s=1
1
ch(2-+2s)-cos
.
173. Применим эти результаты для нахождения коэффициентов ёмкости и индукции для двух сфер радиусов a и b с расстоянием между центрами c.
Пусть сфера A находится под единичным потенциалом, а сфера B - под нулевым потенциалом. Тогда последовательные изображения заряда a, помещённого в центре сферы A дадут истинное распределение электричества. Все изображения будут лежать на оси между полюсами и центрами сфер, причём, как легко видеть, из четырёх систем изображений, определённых в п. 172, в этом случае существует только третья и четвёртая.
Полагая
k
=
a4+b4+c4– 2b2c2– 2c2a2– 2a2b2
2c
,
получим
sh =-
k
a
, sh =
k
b
.
Значения
Таким образом, мы должны в уравнениях заменить P на a или -k/sh , - на 2, - на 0, имея в виду, что само P является частью заряда сферы A. Таким образом, для коэффициента ёмкости сферы A получаем
q
aa
=
k
s=
s=0
1
sh(s-)
,
а для коэффициента индукции A на B или B на A
q
ab
=
– k
s=
s=1
1
sh s
.
Таким же способом можно было бы, считая потенциал B единичным, а потенциал A - нулевым, найти значение qbb. В принятых обозначениях мы получили бы следующее выражение:
q
bb
=
k
s=
s=0
1
sh(+s)
.
Чтобы выразить эти величины через радиусы сфер a и b и через расстояние между их центрами c, заметим, что если ввести обозначение
K
=
a
4
+b
4
+c
4
– 2b
2
c
2
– 2c
2
a
2
– 2a
2
b
2
,
то можно написать
sh
=-
K
2ac
,
sh
=
K
2bc
,
sh
=
K
2ab
,
ch
=
c^2+a^2-b^2
2ca
,
ch
=
c^2+b^2-a^2
2cb
,
ch
=
c^2-a^2-b^2
2ab
и использовать соотношения
sh(+)
=
sh ch
+
ch sh
,
ch(+)
=
ch ch
+
sh sh
.
С помощью этих соотношений или же непосредственно рассчитывая последовательные изображения, как это сделано в работе сэра У. Томсона, получим
q
aa
=
a
+
a^2b
c^2-b^2
+
a^3b^2
(c^2-b^2+ac)(c^2-b^2-ac)
+…
q
ab
=
–
ab