Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Это уравнение соответствует уравнению Лапласа в анизотропной среде.
302. Если положить
[rs]
=
r
1
r
2
r
3
+
2s
1
s
2
s
3
–
r
1
s
1
^2
–
r
2
s
2
^2
–
r
3
s
3
^2
,
(17)
и
[AB]
=
A
1
A
2
A
3
+
2B
1
B
2
B
3
–
A
1
B
1
^2
–
A
2
B
2
^2
–
A
3
B
3
^2
,
(18)
где
[rs]
A
1
=
r
2
r
3
– s
1
^2
,
[rs]
B
1
=
s
2
s
3
– r
1
s
1
,
…
…
…
(19)
и
A
1
x^2
+
A
2
y^2
+
A
3
z^2
+
2B
1
yz
+
2B
2
zx
+
2B
3
xy
=
[AB]
^2
,
(20)
мы найдём, что выражение
V
=
C
4
·
1
(21)
является решением этого уравнения.
В случае, когда коэффициенты T равны нулю, коэффициенты A и B совпадают с коэффициентами R и S из п. 299. При наличии T этого не происходит.
Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещённого в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.
Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси x, y, z главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм s и B обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы A будет обратен соответствующему коэффициенту формы r. Выражение для будет
x^2
r1
+
y^2
r2
+
z^2
r3
=
^2
r1r2r3
.
(22)
303.
2 Cм. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 154.
Коэффициенты T1, T2, T3 могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора T, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчёта. То же самое верно и для величин t1, t2, t3, которые являются составляющими другого вектора t.
Векторы T и t вообще говоря, не совпадают по направлению.
Выберем теперь ось z так, чтобы она совпадала с вектором T, и в соответствии с этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму
X
=
R
1
u
+
S
3
v
+
S
2
w
–
Tv
,
Y
=
S
3
u
+
R
2
v
+
S
1
w
+
Tv
,
Z
=
S
2
u
+
S
1
v
+
R
3
w
.
(23)
Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряжённость как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов R и S, а вторая - только от T. Часть, зависящая от R и S, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведённым в точку касания. Другая часть, зависящая от T, равна по величине произведению T на слагающую тока, перпендикулярную к оси T, и направлена перпендикулярно к T и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если её повернуть на 90° в положительном направлении вокруг оси T.
Если мы рассматриваем ток и T как векторы, то часть электродвижущей напряжённости, обусловленная T, есть векторная часть произведения Txток.
Коэффициент T может быть назван Вращательным коэффициентом. У нас есть основания полагать, что этот коэффициент не существует ни в одном из известных веществ. Если где-либо этот коэффициент и мог бы быть обнаружен, то в магнитах, имеющих поляризацию в одном направлении, вероятно, вызванную явлением вращения в этом веществе.
304. Предполагая теперь, что вращательный коэффициент отсутствует, мы покажем, как можно распространить теорему Томсона, изложенную в п. 100а-100д, чтобы доказать, что тепло, производимое токами в рассматриваемой системе за данное время, есть единственный минимум.