Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
p
2
X
+
q
1
Y
+
r
3
Z
)
,
(10)
откуда
4r
=
{
l(r
1
– r)
+
mq
3
+
np
2
}
X
+
{
lp
3
+
m(r
2
– r)
+
nq
1
}
Y
+
+
{
lq
2
+
mp
1
+
n(r
3
– r)
}
Z
.
(11)
Величина
4
=
r1
r
– 1
(
lX
+
mY
+
nZ
).
(12)
где r1– проводимость рассматриваемого вещества, r - проводимость внешней среды, а l, m, n, - направляющие косинусы нормали, проведённой в ту среду, проводимость которой равна r.
В случае, когда обе среды изотропны, эти условия можно значительно упростить, ибо если k есть удельное сопротивление единицы объёма, то
u
=-
1
k
dV
dx
,
v
=-
1
k
dV
dy
,
w
=-
1
k
dV
dz
,
(13)
и если v есть нормаль, проведённая из первой среды во вторую в любой точке поверхности раздела, то условие непрерывности есть
1
dV
1
=
1
dV
1
.
k
1
d
k
2
d
(14)
Если углы, которые линии тока в первой и во второй средах составляют с нормалью к поверхности раздела, равны соответственно 1 и 2, то касательные к этим линиям тока лежат по обе стороны от границы раздела в одной плоскости с нормалью и
k
1
tg
1
=
k
2
tg
2
.
(15)
Это соотношение можно назвать законом преломления линий тока.
311. В качестве примера условий, которые должны быть выполнены, когда электричество пересекает
Разложим потенциал как внутри, так и вне поверхности по пространственным гармоникам и пусть слагаемые, которые зависят от поверхностной гармоники Si равны
V
1
=
(
A
1
r
i
+
B
1
r
– (i+1)
)
S
i
,
(1)
V
2
=
(
A
2
r
i
+
B
2
r
– (i+1)
)
S
i
,
(2)
соответственно внутри и вне сферы.
На поверхности раздела, где r=a, мы должны иметь
V
1
=
V
2
и
1
dV
1
=
1
dV
1
.
k
1
dr
k
2
dr
(3)
Из этих условий мы получаем уравнения
(A
1
– A
2
)
a
2i+1
+
B
1
– B
2
=
0,
1
k1
A
1
–
1
k2
A
2
ia
2i+1
–
1
k1
B
1
–
1
k2
B
2
(i+1)
=
0.
(4)
Эти уравнения, если мы знаем две из четырёх величин A1, A2, B1, B2, достаточны для определения двух других величин.
Предположим, что A1 и B1 известны, тогда для A2 и B2 мы получим следующие выражения:
A
2
=
{k