Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Скалярная часть
S
=-
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
,
(см.Теорему III)
а векторная часть
V
=
i
dZ
dy
–
dY
dz
+j
dX
dz
–
dZ
dx
+k
dY
dx
–
dX
dy
.
Если
V
=
i
+
j
+
k
(см. Теорему IV)
Таким образом, оказывается, что функции от X, Y, Z, фигурирующие в двух теоремах, получаются в результате действия оператора на вектор, компоненты которого суть X, Y, Z. А сами эти теоремы могут быть записаны так:
S
dv
=
S
U
ds
(III)
и
S
d
=-
S
U
ds
,
(IV)
где dv есть элемент объёма, ds -элемент поверхности, d - элемент кривой, U– единичный вектор в направлении нормали.
Для того чтобы понять смысл этих функций вектора, предположим, что 0 есть значение в точке P и будем изучать величину -0 в окрестности P. Если построить вокруг P некоторую замкнутую поверхность, то при направленном внутрь поверхностном интеграле от , взятом по этой поверхности, величина S будет положительной и вектор -0 около точки P в целом будет направлен в сторону P, как это показано на рис. 1.
В связи с этим я предлагаю скалярную часть от называть конвергенцией в точке P.
Для интерпретации векторной части предположим, что вектор, имеющий компоненты , , , направлен под прямым углом к плоскости листа вверх, и будем изучать вектор -0 вблизи точки P. При этом окажется (см. рис. 2), что этот вектор в целом расположен тангенциально и направлен противоположно движению часовых стрелок.
Я предлагаю (с большой неуверенностью, однако) называть векторную часть ротацией (ротором) в точке P.
На рис. 3 проиллюстрировано сочетание ротации и конвергенции.
Рассмотрим теперь смысл уравнения V=0.
Это уравнение означает, что либо величина является скаляром, либо вектор есть пространственная вариация от некоторой скалярной функции .
26. Одно из наиболее замечательных свойств оператора состоит в том, что при повторном применении
^2
=-
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
+
d^2
dz^2
,
который встречается во всех разделах Физики и который мы можем называть Оператором Лапласа.
Сам по себе этот оператор существенно скалярный. Когда он действует на скалярную функцию, получается скаляр, а когда он действует на векторную функцию, получается вектор.
Если провести небольшую сферу радиуса r с центром в точке P и считать, что q0 есть значение величины q в её центре, a q есть значение q среднее по всем точкам внутри сферы, то
q
0
–
q
=
1
10
r^2^2q
,
так что значение в центре либо превышает, либо слегка не достигает этого среднего значения в зависимости от того, является ли величина ^2q положительной или отрицательной.
Я предлагаю поэтому называть величину ^2q концентрацией (сгущением) q в точке P, потому что она характеризует превышение величины q в этой точке над её средним значением в окрестности данной точки.
Если q - скалярная функция, то метод отыскания её среднего значения хорошо известен. Если же это векторная функция, то нам следует отыскивать её среднее значение, руководствуясь правилами интегрирования векторных функций. В результате, конечно, получится вектор.
ЧАСТЬ I ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ГЛАВА I ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
Электризация трением
27.Опыт I1. Возьмём кусок стекла и кусок смолы, не обладающие каждый никакими электрическими свойствами, потрём их друг о друга и оставим натёртые поверхности в контакте. Пока ещё электрические свойства не будут проявляться. Отделим куски друг от друга. Они начнут взаимно притягиваться.
1 См. Sir W. Thomson, On the Mathematical Theory of Electricity in Equilibrium, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, March, 1848.
Если другой кусок стекла потереть о другой кусок смолы, отделить затем эти куски и подвесить их рядом с первыми двумя кусками стекла и смолы, то можно будет заметить: 1) что оба куска стекла отталкивают друг друга, 2) что каждый кусок стекла притягивается к каждому куску смолы, 3) что оба куска смолы отталкивают друг друга.
Эти явления притяжения и отталкивания называются Электрическими явлениями, а про тела, проявляющие такие свойства, говорят, что они наэлектризованы, или заряжены электричеством.
Тела могут быть наэлектризованы и многими другими способами, не только с помощью трения.
Электрические свойства обоих кусков стекла сходны между собой, но противоположны свойствам обоих кусков смолы; то, что отталкивается смолой, притягивается стеклом, а то, что притягивается смолой, отталкивается стеклом.