Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
О правовинтовых и левовинтовых соотношениях в пространстве
23. В настоящем трактате поступательное движение вдоль какой-либо оси и вращательное движение вокруг этой же оси будут считаться движениями одного и того же знака при условии, что их направления соответствуют направлениям поступательного перемещения и вращения обычного, т. е. правого винта 10.
10 Совместное действие мышц руки, когда мы, поворачивая тыльной стороной правую ладонь наружу, одновременно проталкиваем руку вперёд, оставляет в памяти более прочный отпечаток характера правовинтового
Профессор У. X. Миллер (W. Н. Miller) подсказал мне, что усики у виноградной лозы закручиваются по правому винту, а у хмеля - по левому; таким образом, системы соотношений в пространстве могли бы быть названы соответственно системой виноградных соотношений и хмелёвых соотношений.
Принимаемая нами виноградная система - это система Линнея (Linnaeus); ею пользуются изготовители винтов во всех цивилизованных странах, кроме Японии. Де Кандолле был первым, назвавшим хмелевую лозу правосторонней, в этом ему последовали Листинг и большинство авторов, писавших о круговой поляризации света. Винты, подобные усикам хмелёвой лозы, применяются для сцепления железнодорожных вагонов, а также для прикрепления колёс с левой стороны обычных экипажей, и они всегда называются левыми винтами всеми, кто ими пользуется.
Так, например, если принять действительное вращение Земли с запада на восток за положительное, то и направление земной оси с юга на север также будет взято за положительное; и если человек идёт вперёд в положительном направлении, то положительное вращение происходит в таком порядке: голова, правая рука, ноги, левая рука.
Если мы поместим себя на положительную сторону некоторой поверхности, то положительное направление вдоль ограничивающей эту поверхность кривой окажется противоположным движению стрелок часов, циферблат которых обращён к нам.
Это и есть та самая правая (правосторонняя) система отсчёта, которая принята Томсоном и Тэтом в их книге «Натуральная философия» (Natural Philosophy), а также в книге Тэта «Кватернионы» (Quaternions). Противоположная ей левая (левосторонняя) система отсчёта принята в гамильтоновых «Кватернионах» (Lectures, р. 76, and Elements, р. 108, and р. 117 note). Операция перехода от одной системы к другой названа Листингом Перверсией– обращением, зеркальным отражением.
Отражение какого-либо предмета в зеркале является его обращённым изображением.
Используя Декартовы оси координат x, y, z, мы будем изображать их так, чтобы общепринятая договорённость о циклическом порядке расположения символов приводила к правой системе отсчёта направлений в пространстве. Так, если ось x проведена смотрящей на восток, а ось y - на север, то ось z должна быть проведена вертикально вверх.
Площади поверхностей будут браться с положительным знаком в том случае, когда порядок интегрирования совпадает с циклическим порядком расстановки символов. Так, площадь на плоскости xy расположенная внутри некоторой замкнутой кривой, может быть записана либо xdy либо - ydx; в первом выражении порядок интегрирования есть x, y во втором - y, x.
Это соотношение между двумя произведениями dx dy и dy dx можно
По таким же причинам объёмный интеграл должен считаться положительным, когда порядок интегрирования совпадает с циклической расстановкой переменных x, y, z и отрицательным при обращённом порядке цикличности.
Перейдём теперь к доказательству теоремы, полезной для установления связи между поверхностным интегралом, взятым по некоторой конечной поверхности, и линейным интегралом, взятым вдоль её границы.
24.Теорема IV.Линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой, может быть выражен через поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной этой кривой.
Пусть X, Y, Z будут составляющие той векторной величины A, линейный интеграл от которой должен быть взят по замкнутой кривой s.
Пусть произвольная непрерывная поверхность S целиком ограничена замкнутой кривой s, а составляющие , , другой векторной величины B связаны с составляющими X, Y, Z уравнениями
=
dZ
dy
–
dY
dz
,
=
dX
dz
–
dZ
dx
,
=
dY
dx
–
dX
dy
.
(1)
Тогда поверхностный интеграл от B, взятый по поверхности S, равен линейному интегралу от A, взятому вдоль кривой s. Очевидно, что сами составляющие X, Y, Z удовлетворяют условию соленоидальности.
Пусть l, m, n будут направляющими косинусами нормали к элементу поверхности dS, отсчитываемой в положительном направлении. Тогда величина поверхностного интеграла от B может быть записана так:
(
l
+
m
+
n
)
dS
.
(2)
Для того чтобы придать элементу dS определённый смысл, предположим, что в каждой точке поверхности значения координат x, y, z заданы как функции двух независимых переменных и . Если постоянна, а изменяется, точка (x, y, z) будет описывать некоторую кривую на поверхности, и если перебрать целый ряд значений , то будет прочерчена серия таких кривых, полностью лежащих на поверхности S. Подобным же образом, перебирая последовательность постоянных , можно нанести вторую серию кривых, пересекающихся с кривыми первой серии и разделяющих всю поверхность на элементарные участки, любой из которых может быть взят за элемент dS.
Проекция этого элемента на плоскость yz согласно обычным формулам, равна
ldS
=
dy
d
dz
d
–
dy
d
dz
d
d
d
.
(3)
Выражения для mdS и ndS получаются отсюда путём перестановки x, y, z в циклическом порядке.
Поверхностный интеграл, который мы должны найти, есть
(