Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
При каждом входе ldS=-dydz, а при каждом выходе ldS=dydz.
Пусть некоторая точка, движущаяся из x=- в x=+, первый раз входит в это пространство при x=x1 а затем покидает его при x=x2 и так далее; при этом значения X в этих точках соответственно равны X1, X2, …; тогда
XldS
=-
{
(X
1
– X
2
)
+
(X
3
– X
4
)
+…+
(X
2n-1
– X
2n
)
}
dy
dz
.
(2)
Если X
X
2
– X
1
=
x2
x1
dX
dx
dx
,
(3)
где интегрирование производится от первого до второго пересечения, а именно в пределах первого отрезка x находящегося внутри замкнутой поверхности. Учитывая все отрезки, лежащие в пределах замкнутой поверхности, находим
XldS
=
dX
dx
dx
dy
dz
,
(4)
Где двойное интегрирование ограничивается замкнутой поверхностью, а тройное интегрирование распространяется на всё охватываемое ею пространство. Следовательно, если X, Y, Z непрерывны и конечны внутри замкнутой поверхности S, то полный поверхностный интеграл от R, взятый по этой поверхности, будет равен
R cos dS
=
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
dx
dy
dz
,
(5)
где тройное интегрирование распространено на всё пространство внутри S.
Предположим теперь, что величины X, Y, Z не являются непрерывными в пространстве, охватываемом замкнутой поверхностью, а на некоторой поверхности F{x,y,z}=0 изменяются скачком от значений X, Y, Z на отрицательной стороне этой поверхности до значений X', Y', Z' на её положительной стороне.
Если этот разрыв происходит, скажем, между x1 и x2 то значение X2– X1 окажется равным
x2
x1
dX
dx
dx
+
(X'-X)
,
(6)
здесь в подынтегральном выражении следует рассматривать только конечные значения производной от X
Таким образом, в этом
R cos dS
=
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
dx
dy
dz
+
+
(X'-X)
dy
dz
+
(Y'-Y)
dz
dx
+
(Z'-Z)
dx
dy
,
(7)
или, если через l', m', n' обозначить направляющие косинусы нормали к поверхности разрыва, а через dS' - элемент этой поверхности,
R cos dS
=
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
dx
dy
dz
+
{
l'(X'-X)
+
m'(Y'-Y)
+
n'(Z'-Z)
}
dS'
,
(8)
где интегрирование в последнем члене производится по поверхности разрыва.
Если в каждой точке, где X, Y, Z непрерывны, справедливо уравнение
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
=
0,
(9)
а на каждой поверхности, где они разрывны,-
l'X'
+
m'Y'
+
n'Z'
=
l'X
+
m'Y
+
n'Z
,
(10)
то поверхностный интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю и про распределение векторной величины говорят, что оно является Соленоидальным.
Мы будем ссылаться на уравнение (9) как на Общее условие соленоидальности, а на уравнение (10) - как на условие соленоидальности на поверхности.
22. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
=
0,
(11)
выполнено в каждой точке внутри поверхности S. Отсюда следует, что поверхностный интеграл по замкнутой поверхности равен нулю.
Пусть теперь замкнутая поверхность S состоит из трёх частей S1, S0, и S2, причём S1– это поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутой кривой L1 a S0– поверхность, образованная линиями, проведёнными из каждой точки кривой L1 всегда совпадающими по направлению с R. Если l, m, n - направляющие косинусы нормали в произвольной точке поверхности S0, то мы имеем
R cos
=