Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Если мы захотим выразить явно тот факт, что результирующая напряжённость является вектором, мы будем обозначать её готической буквой E. Если тело является диэлектриком, то, согласно принятой в этом трактате теории, электричество смещается в нём, причём количество электричества, смещаемое в направлении вектора E через единичную площадку, перпендикулярную E, равно D=KE/4, где D - смещение, E - напряжённость поля, а K - индуктивная способность диэлектрика.
Если тело является проводником, то состояние напряжения непрерывно снимается, так что возникает ток проводимости, поддерживаемый до тех пор, пока в среде действует E.
Линейный интеграл
69. Электродвижущая сила вдоль заданной дуги АР некоторой кривой измеряется численно работой, которая была бы совершена электрической напряжённостью над единичным положительным зарядом, перемещаемым вдоль кривой, начиная с точки А и кончая точкой Р дуги.
Если s - длина дуги, отмеряемая от точки А, а результирующая напряжённость R в каждой точке кривой образует угол с касательной к кривой, проведённой в положительном направлении, то работа,- совершенная над единичным электрическим зарядом при его перемещении вдоль элемента кривой ds равна R cos ds а полная электродвижущая сила E равна
E
=
s
0
R cos
ds
,
где интегрирование производится от начала до конца дуги.
Если использовать составляющие напряжённости, то это выражение примет вид
E
=
s
0
X
dx
ds
+
Y
dy
ds
+
Z
dz
ds
ds
.
Если X, Y, Z таковы, что Xdx+Ydy+Zdz образует полный дифференциал функции - V от x, y, z, то
E
=
P
A
X
dx
Y
dy
Z
dz
=-
P
A
dV
=
V
A
–
V
P
,
где интегрирование производится по любому пути от точки А к точке Р, будь то заданная кривая или любая другая линия, соединяющая А и Р.
Здесь V - скалярная функция положения точки в пространстве, т. е. значение координат точки определяет значение V, причём это значение не зависит от положения и направления осей координат (см. п. 16).
О функциях положения точки
В последующем, описывая какую-либо величину как функцию положения точки, мы имеем в виду, что для каждого положения точки функция имеет определённое значение. Мы не подразумеваем при этом, что это значение всегда выражается одной и той же формулой для всех точек пространства; оно может выражаться одной формулой по одну сторону от некоторой поверхности и другой - по другую сторону.
О потенциальных функциях
70. Величина Xdx+Ydy+Zdz является полным дифференциалом во всех случаях, когда сила обусловлена притяжением или отталкиванием, напряжённость которых зависит от расстояний до некоторого числа точек. Если r - расстояние одной из этих точек от точки (x, y, z) a R -
X
1
=
R
1
x-x1
r1
=
R
1
dx1
dx
и аналогично для Y1 и Z1 так что
X
1
dx
+
Y
1
dy
+
Z
1
dz
=
R
1
dr
1
,
а поскольку R1 зависит только от r1 то R1dr1 является полным дифференциалом некоторой функции от r1 скажем, -V1.
Аналогично для любой другой силы R2, действующей из центра, находящегося на расстоянии r2,
X
2
dx
+
Y
2
dy
+
Z
2
dz
=
R
2
dr
2
=-
V
2
.
Ho X=X1+X2+ и т. д., и аналогично Y и Z, так что
X
dx
+
Y
dy
+
Z
dz
=
– dV
1
– dV
2
– и т.д.=
– dV
.
Интеграл от этой величины, обращающийся в нуль на бесконечности, называется Потенциальной Функцией.
В теории притяжения эта функция была впервые применена Лапласом при расчёте притяжения Земли. Грин в своём исследовании «О применении математического анализа к электричеству» дал ей название Потенциальной Функции. Гаусс независимо от Грина также пользовался термином Потенциал. Клаузиус и другие понимали под Потенциалом работу, которая была бы совершена при удалении двух тел или систем на бесконечное расстояние друг от друга. Мы будем придерживаться применения этого слова в том смысле, в каком оно используется в последних английских работах и избегнем неопределённости, приняв следующее определение сэра У. Томсона.
Определение потенциала. Потенциал в Точке - это работа, которая была бы совершена электрическими силами над единичным положительным зарядом, внесённым в эту точку без искажения распределения заряда, при переносе его из этой точки на бесконечное расстояние, или, что то же самое-работа внешнего источника при переносе единичного положительного заряда из бесконечности (или из любого места, где потенциал равен нулю) в данную точку.
Выражение напряжённости и её составляющих через потенциал