Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
=
4
.
Если существует потенциал V, то согласно п. 71
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
d^2V
dz^2
+
4
=
0.
Это уравнение в случае плотности, равной нулю, называется Уравнением Лапласа. В более общей форме оно было впервые приведено Пуассоном. Оно позволяет нам при известном потенциале во всех точках определить
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
d^2V
dz^2
через -^2V Тогда мы можем выразить уравнение Пуассона словами: плотность электричества, умноженная на 4 есть концентрация потенциала ^2V. Там, где нет заряда, нет концентрации потенциала, в этом и заключается интерпретация уравнения Лапласа.
Согласно п. 72 потенциал V постоянен внутри проводника. Значит, внутри проводника объёмная плотность заряда равна нулю, и весь заряд должен быть на поверхности проводника.
Если предположить, что при поверхностном и линейном распределении электричества объёмная плотность остаётся конечной, а электричество распределено в виде тонкого слоя или узкой нити, то в пределе, увеличивая и уменьшая толщину слоя или сечение нити, мы можем прийти к истинному поверхностному или линейному распределению. Уравнение для потенциала, справедливое в процессе всего предельного перехода, останется справедливым и в пределе, если его интерпретация соответствует реальным обстоятельствам.
Изменение потенциала на заряженной поверхности
78 а. Потенциальная функция V должна быть физически непрерывной в смысле п. 7, за исключением граничных поверхностей между двумя различными средами, на которых, как мы увидим в п. 246, может существовать разность потенциалов между различными веществами, так что при равновесии электричества потенциал в некоторой точке одного вещества больше потенциала в смежной точке второго вещества на постоянную величину С, зависящую от природы обоих веществ и от их температуры.
Что касается первых производных от V по x, y или z, то они могут быть разрывны, и, согласно п. 8, точки разрыва должны лежать на поверхности, уравнение которой можно записать в виде
=(x,yz)=0,
(1)
Эта поверхность отделяет область отрицательного от области положительного .
Пусть V1– потенциал в произвольной заданной точке в отрицательной области, а V2– потенциал в произвольной заданной точке положительной области. Тогда в любой точке на поверхности, где =0, которую можно считать принадлежащей обеим областям,
V
1
+
C
=
V
2
,
(2)
где C - постоянная разность потенциалов (если таковая имеется) между положительной и отрицательной сторонами поверхности.
Пусть l, m, n - направляющие косинусы нормали 2 в данной точке поверхности в сторону положительной области.
Скорости изменения V вдоль нормалей будут равны
dV1
d1
=
– l
dV1
dx
– m
dV1
dy
– n
dV1
dz
,
(3)
dV2
d2
=
l
dV2
dx
+m
dV2
dy
+n
dV2
dz
.
(3)
Проведём на поверхности какую-либо кривую, и пусть s - длина, отсчитываемая вдоль этой кривой от некоторой фиксированной точки на ней. В каждой точке поверхности, а значит, и в каждой точке этой кривой, V2– V1=C. Дифференцируя это равенство по s, получим
dV2
dx
–
dV1
dx
dx
ds
+
dV2
dy
–
dV1
dy
dy
ds
+
dV2
dz
–
dV1
dz
dz
ds
=0,
(5)
а поскольку нормаль перпендикулярна этой кривой, то
l
dx
ds
+m
dy
ds
+n
dz
ds
=0.
(6)
Из (3), (4), (5) и (6) следует, что
dV2
dx
–
dV1
dx
=
l
dV1
d1
+
dV2
d2
,
(7)
dV2
dy
–
dV1
dy
=
m
dV1
d1
+
dV2
d2
,
<