Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
V
=
2a^2
f(2a),
(11)
а для точек внутри её
V
=
2ab
{
f(a+b)
–
f(a-b)
},
(12)
Найдём теперь потенциалы двух концентрических сферических оболочек с радиусами внешней и внутренней оболочек равными a и b и зарядами и .
Обозначая потенциал внешней оболочки через А,
A
=
2a^2
f(2a)
+
2ab
{
f(a+b)
–
f(a-b)
},
(13)
B
=
2b^2
f(2b)
+
2ab
{
f(a+b)
–
f(a-b)
},
(14)
В первой части опыта оболочки соединены короткой проволочкой и приобретают обе одинаковый потенциал V.
Полагая A=B=V и решая уравнения (13) и (14) относительно , мы найдём заряд на внутреннем проводнике:
=
bf(2a)-a[f(a+b)-f(a-b)]
f(2a)f(2b)-[f(a+b)-f(a-b)]^2
(15)
В опыте Кавендиша полусферы, образующие оболочку, отводились на расстояние, которое мы можем считать бесконечным, и разряжались. Потенциал внутренней оболочки (т. е. шара) становился при этом равным
B
1
=
2b^2
f(2b)
.
При повторении опыта в Кавендишской Лаборатории наружная оболочка оставалась на месте, но заземлялась, так что A=0. В этом случае для потенциала внутреннего шара, выраженного через V, получим
B
2
=
V
1-
a
b
f(a+b)-f(a-b)
f(2a)
.
(17)
74 г. Примем теперь вместе с Кавендишем, что сила обратно пропорциональна некоторой степени расстояния, не сильно отличающейся от двойки.
Положим
(r)=r
q-2
,
(18)
тогда
f(r)
=
1
1-q^2
r
q+1
.
(19)
Если считать q малым, то это выражение можно представить по теореме об экспоненте в виде разложения
f(r)
=
1
1-q^2
r
1+
q ln r+
1
1·2
(q ln r)^2
+…
.
(20)
Если пренебречь членами, содержащими q^2 то выражения (16) и (17) примут вид
B
1
=
1
2
a
a-b
Vq
ln
4a^2
a^2-b^2
–
a
b
ln
a+b
a-b
,
(21)
B
2
=
1
2
Vq
ln
4a^2
a^2-b^2
–
a
b
ln
a+b
a-b
.
(22)
Отсюда
74 д. Лаплас первым показал, что никакая функция расстояния, кроме обратно пропорциональной квадрату расстояния, не удовлетворяет условию, что однородная сферическая оболочка не действует на частицу, находящуюся внутри неё 2.
2 M'ec. C'el., I, 2.
Если мы примем, что в выражении (15) всегда равно нулю, мы сможем применить метод Лапласа для нахождения вида f(r) Из (15) следует, что
bf
(2a)
–
af
(a+b)
+
af
(a-b)
=0.
Дифференцируя дважды по b и деля на a, получим f''(a+b)=f''(a-b).
Если это равенство выполняется тождественно, то f''(r)=C0=const. Отсюда f'(r)=C0r+C1 и, согласно (1),
r
(r)
dr
=
f(r)
r
=
C
0
+
C1
r
,
(r)
=
C1
r^2
.
Заметим здесь, что хотя предположение Кавендиша о том, что сила меняется как некоторая степень расстояния, представляется менее общим, чем предположение Лапласа, что сила является произвольной функцией расстояния, оно является единственным совместимым с тем фактом, что подобные поверхности могут быть заряжены так, чтобы иметь подобные электрические свойства.
Ибо, если бы сила была функцией расстояния, отличной от степенной, то отношение сил на двух различных расстояниях не было бы функцией отношения расстояний, а зависело бы от абсолютного значения этих расстояний и поэтому содержало бы отношения этих расстояний к абсолютно фиксированной длине.
Фактически Кавендиш сам отмечает, что, согласно его собственной гипотезе о строении электрической жидкости, распределение электричества на двух геометрически подобных проводниках не может быть в точности подобным, если только заряды проводников не пропорциональны объёмам. Действительно, он предполагает, что частицы электрической жидкости плотно спрессованы вблизи поверхности тела, а это эквивалентно предположению о том, что закон взаимодействия не является законом обратных квадратов, и для сильно сблизившихся частиц расталкивание начинает расти значительно быстрее с дальнейшим уменьшением расстояния между ними.