Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Альберти Микель

Не существует значения а такого, чтобы операция сложения, определенная в первой таблице, обладала бы ассоциативностью:

Третья таблица также не подходит:

Только

подставив b = 1 во вторую таблицу, мы получим верное решение. Конечно, равенства

противоречат нашим привычным представлениям.

< image l:href="#"/>

Мы создали алгебраическую структуру, состоящую из множества X = {0, 1,

} и операции +, обладающей требуемыми свойствами, результаты которой всегда принадлежат множеству X. Результаты операции сложения для элементов множества X непривычны для нас, но это тема отдельного разговора.

Линейные и экспоненциальные функции

На упаковках губок одной марки в течение нескольких лет приводился график с текстом: «Не позволяйте бактериям размножаться». На нем были изображены две стрелки в координатной плоскости. Одна иллюстрировала результаты применения губки, другая — скорость размножения бактерий без использования губки.

Заслуживает внимания правильное использование терминологии и графика.

Численность бактерий с течением времени возрастает. В рекламном тексте говорится, что при использовании губки численность бактерий перестанет умножаться. Допустим, в единицу времени появляется b новых бактерий, при этом b > 1. По прошествии t единиц времени их число будет равно:

B(t) = Ь·Ь·Ь… ^{(t раз)}…·Ь = b^t.

Это показательная функция с основанием степени b, графиком ее является восходящая кривая, наклон которой постепенно растет, и на бесконечности график обращается в вертикальную линию.

Если численность бактерий будет не умножаться, а складываться, то их численность по прошествии t единиц времени будет описываться формулой:

B(t) = Ь + Ь + Ь… ^{(t раз)}… + Ь = b·t.

Это линейная возрастающая функция, наклон которой постоянен (тангенс угла наклона графика равен Ь) и графиком которой является прямая. За исключением того, что начальная точка графиков показательных функций обычно не совпадает с началом координат, на упаковке воспроизведены графики обеих функций. С точки зрения математики они абсолютно верны, так как график показательной функции соответствует случаю, когда численность бактерий умножается.

Правило

третей

При создании изображений работает правило, согласно которому деление на трети важнее деления на половины. Желательно не располагать основные элементы композиции точно в центре.

Например, горизонт на фотографии лучше расположить выше или ниже линии, делящей прямоугольный кадр пополам.

Если на фотографии присутствует два важных элемента, лучше расположить их в точках пересечения линий, делящих кадр на три части по горизонтали и по вертикали. В этом случае геометрическое правило помогает создать гармоничную композицию.

Как математика помогает достичь совершенства

Некоторое время назад один из производителей вина запустил рекламную кампанию, смысл которой сводился к тому, что совершенство его продукции обусловлено сочетанием математики, природы и мастерства. В рекламном ролике показывался длиннейший ряд математических формул, большинство из которых не несли особого смысла, а многие цифры и буквы в них были заменены изображениями природы или фотографиями мастеров-виноделов. Ряд формул заканчивался знаком равенства, по другую сторону которого была изображена бутылка вина. Рядом с бутылкой располагался слоган: «Кто сделал его совершенным?».

Замысел автора рекламы заключался в том, чтобы с помощью математических инструментов показать, сколь длительным и скрупулезным является процесс изготовления вина, ведь именно слова «длительность» и «скрупулезность» описывают большую часть математической деятельности.

Математика в дизайне

Двоичное время

В двоичной системе счисления для представления любых чисел используются всего две цифры — 0 и 1. Подобно десятичной системе счисления, каждый разряд числа в двоичной системе соответствует определенной степени двойки:

372₁₀ =3·10² + 7·10¹ + 2·10⁰;

101₂ =1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰.

В таблице ниже представлены тринадцать первых натуральных чисел в обеих системах счисления:

Дизайнеры порой удивляют нас неожиданными решениями. Мы привыкли измерять время в часах, которые делятся на 60 минут, и в минутах, которые делятся на 60 секунд. Часы, показывающие время в двоичной системе счисления, поначалу могут показаться экстравагантной выдумкой. Их циферблат представляет собой прямоугольник. На верхней линии обозначаются часы, на нижней — минуты.

Внутри прямоугольника находятся четыре вертикальные линии, на которых указываются значения, соответствующие каждой степени двойки (см. рисунок ниже). Так как число часов находится в интервале от 0 до 12, для представления часов достаточно четырех цифр (см. таблицу на предыдущей странице). Для обозначения минут, число которых находится на интервале от 0 до 60, требуется шесть цифр.

Взглянув на эти часы, сразу узнать время нельзя — сначала нужно сложить значения, отмеченные на каждой линии. Часы на рисунке выше показывают 7 часов и 48 минут. Четверть часа, полчаса и три четверти часа обозначаются так: