Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Шрифт:
Чтобы умножить, например, 6 на 8, девочка сжимала в кулак пальцы левой руки, а затем считала до 6 на пальцах, так, что в итоге один палец оказывался загнутым, 4 — разогнутыми. Затем она считала до 8 на пальцах правой руки так, что в итоге загнутыми оказывались 3 пальца, разогнутыми — 2, как показано на рисунке ниже.
Чтобы получить результат, девочка прибавляла число загнутых пальцев, умноженное на 10, то есть 10 * (1 + 3) = 40, к произведению чисел, которые обозначались разогнутыми пальцами, то есть 4·2 = 8. Результат умножения равнялся 40 + 8 = 48.
Кто придумал такой способ и как он работает? На первый вопрос ответить невозможно — способ очень древний. А ответ
(10 — а) (10 — Ь) = 100 — 10а — 10Ь + аЬ =
= 100 —10(а + Ь) + аЬ = 10[10 — (а + Ь)] + ab.
Здесь а + b — число разогнутых пальцев, 10 — (а + Ь) — число загнутых пальцев. Число загнутых пальцев следует считать десятками, то есть умножить на 10. Наконец, а и b обозначают число загнутых пальцев на каждой руке. При умножении 6 x 7 мы получаем а = 4, b = 3. При умножении 8 x 8 загнутыми оказываются три пальца на каждой руке, они обозначают шесть десятков (60), два разогнутых пальца на каждой руке обозначают 2·2 = 4 единицы. Следовательно, результат умножения равен 60 + 4 = 64.
Смысл подобной системы в том, чтобы свести умножение двух чисел больше 5 к умножению чисел меньше 5. Чтобы использовать эту систему, не нужно знать таблицу умножения до 10 — достаточно таблицы умножения до 5.
Вернувшись домой, я открыл главу книги об истории чисел. Ифра писал, что схожие приемы умножения используются в разных частях света: «Подобные методы до сих пор встречаются в Индии, Иране, Сирии, Сербии, Бессарабии, Валахии, Оверни и на севере Африки». Индонезии среди упоминаемых им регионов не было. Так я впервые в жизни увидел что-то, что не было описано в книге. Жители Бали исповедуют индуизм, и нет никаких сомнений, что способ умножения, которым пользовались учитель и его дочь, был частью индийского культурного наследия.
* * *
УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ БОЛЬШЕ 10
Секрет описанного метода умножения основан на остатках от деления на 5. Такое умножение выполняется на пальцах. Так как у нас по 5 пальцев на каждой руке, число загнутых или разогнутых пальцев будет равно остатку отделения искомого числа на 5. Чтобы умножить 13 на 14, отсчитаем единицы на пальцах. В итоге на одной руке будут загнуты 3 пальца, на другой — 4, что соответствует остатку от деления 13 и 14 на 5:13 = 5·2 + 3; 14 = 5·2 + 4. Что нужно сделать дальше, чтобы найти результат умножения? Ответ на этот вопрос подскажет алгебра:
(10 + а)(10 + Ь) = 100 + (а + Ь)·10 + аЬ.
Иными словами, нужно прибавить к 100 столько десятков, сколько пальцев загнуто на обеих руках (3 + 4), и их произведение:
13·14 = 100 + (3 + 4)·10 + 3·4 = 100 + 70 + 12 = 182.
* * *
Произошедшее заставило меня по-новому посмотреть на окружающее. Вскоре мне попалось на глаза нечто особенное: гравюры народа тораджи с индонезийского острова Сулавеси. Вначале я увидел в них лишь произведение искусства и часть культуры тораджи, отличительной чертой которой является традиционная архитектура. Дома и амбары для хранения риса сделаны из дерева и стоят на толстых сваях.
В нижней части строений обычно хранят инструменты и держат скот, наверху располагаются жилые комнаты со стенами из деревянных панелей. Крыша дома по форме напоминает седло.
Одинаковые геометрические фигуры, равноудаленные друг от друга, и круг, разделенный на шестнадцать равных частей.
На фасады домов наносятся различные узоры, расположение и значение которых отражают представления тораджи об окружающем мире, космосе и обществе. Авторов узоров вдохновляет окружающая природа, образы которой воплощаются в гравюрах в виде
После увиденного на пляже Падангбай и после того, как я понял, что в книге Джорджа Ифра ничего не говорится об этом регионе, я внимательно изучил некоторые фотографии архитектуры тораджи. Я по-прежнему видел в них произведения искусства, полные символов, но начал замечать и тщательно выстроенную сеть параллельных и перпендикулярных прямых, окружностей, спиралей, переносов, отражений и других видов симметрии. Можно ли создать все эти узоры, не зная математики?
Геометрия неизменно присутствует в произведениях искусства и узорах народа тораджи с острова Сулавеси.
Изучив гравюры тораджи, европейский математик свяжет их с евклидовой геометрией и сделает вывод, что они с большой вероятностью созданы на основе понятий и методов, введенных Евклидом. Подобная трактовка будет неразрывно связана с самими геометрическими фигурами, увиденными на гравюрах. Термины, которыми математик описывает эти фигуры, являются частью его собственной математической культуры. Однако ни один из этих терминов не знаком мастерам, изготовившим гравюры.
Когда математики получили возможность посмотреть, как тораджи создают узоры, и пообщаться с мастерами, они поняли, что некоторые их методы не относятся к геометрии Евклида. Граверы создавали узоры с высокой точностью: чаще всего каждый узор наносился с помощью сетчатой ткани, в некоторых случаях — поверх заранее намеченных эскизов. И всегда тщательно проведенные линии служили основой для фигур, которые наносили на гравюру позже.
Когда западные математики увидели, как мастера проводят линии сетки, то поняли, что тораджи строят параллельные и перпендикулярные линии не по методам, описанным Евклидом в «Началах», а согласно приближенным алгоритмам, которые казались намного менее строгими, чем можно было подумать, глядя на конечный результат. Параллельные линии и окружности были построены с очень высокой точностью с помощью циркулей, подобных европейским (на их обеих ножках имелись иглы, которыми можно делать отметки на деревянной поверхности), и циркулей из бамбука традиционной конструкции. Мастера ничего заранее не измеряли и не проводили никаких расчетов. Бамбуковая рейка служила как для измерений и откладывания размеров, так и для построения прямых линий.
Мастер тораджи рисует ряд спиралей.
Спираль, нарисованная от руки в углу сетки.
При этом мастера должны были решать важную задачу: перед тем как провести линии сетки на прямоугольной панели, где затем изображался узор, необходимо было отметить концы линий на краях панели. Две, три, четыре, шесть и восемь равноудаленных точек определялись методом проб и ошибок. Одни мастера использовали для этого бамбуковую рейку, другие — циркуль, и все они при этом отмечали точки в нужных местах и с поразительной быстротой.
Бамбуковый циркуль.
Сначала я подумал, что мастер хотел разделить сторону панели на две, три, четыре, шесть и восемь равных частей и что указанные им точки и станут концами линий сетки, поверх которой будет наноситься гравюра. Он действовал иначе, чем поступил бы я: я измерил бы сторону панели и разделил ее длину на нужное число частей, а затем отметил бы соответствующие точки. В распоряжении мастеров были линейки с миллиметровыми делениями и калькуляторы, однако они не пользовались этими инструментами, а применяли свой способ, достаточно эффективный и надежный: я видел, как они работают, собственными глазами.