Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Альберти Микель

Среднее значение этих площадей равно: S ~= (S₁ + S_s)/2 = 0,265625. Найдем более точное значение площади, разбив исходный интервал на большее число частей:

Теперь основания всех прямоугольников равны 1/8. И вновь сумма площадей прямоугольников, выделенных темно-серым (S_s),

будет больше искомой площади, которая превышает сумму площадей прямоугольников, выделенных светло-серым (S₁).

Их среднее значение равно:

S ~= 0.5·(S_s + S₁) = 0,2539…

Если мы продолжим этот процесс и будем последовательно делить интервал [0,1] на все более мелкие части, то в пределе мы разделим его на бесконечное число частей, получим бесконечное число прямоугольников, а сумма их площадей будет равна площади фигуры, заключенной между графиком кривой и осями координат.

Вопрос в том, как вычислить общую площадь бесконечного числа прямоугольников. Произведенные выше расчеты показывают, что искомое значение должно быть близко к 0,25, так как промежуточные результаты равны 0,2656… и 0,2539…

Чтобы получить окончательный ответ, рассмотрим, как мы вычислили два предыдущих значения. Вне зависимости от числа прямоугольников, будь их восемь, сто, тысяча или n, сумма их площадей будет рассчитываться одинаково. Значение площади S_s при разделении интервала [0, 1] на n равных частей будет равно:

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти значение этого выражения, когда n стремится к бесконечности. Посмотрим, чему равен его числитель, представляющий собой сумму кубов натуральных чисел:

1³ = 1

1³ + 2³ = 9

1³ + 2³ + 3³ = 36

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100

Числитель будет равен 1, 9, 36, 100, … — это квадраты чисел 1, 3, 6, 10, … Может показаться, что суммы кубов натуральных чисел равны квадратам некоторых других чисел. Но каких? Какой ряд образуют числа 1, 3, 6, 10, …? Заметим, что

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Можно сформулировать теорему:

Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату их суммы.

Правильность этой теоремы можно подтвердить экспериментально для множества чисел — компьютер справится с этим за несколько мгновений. Однако экспериментальное подтверждение частных результатов и выведение из них какого-то общего принципа (именно так действуют физики и биологи) для математиков неприемлемо. В математике истинность увиденного нужно подтвердить для всех возможных случаев.

Как подтвердить истинность нашей теоремы для всех возможных случаев? Начнем с того, что вычислим сумму первых n натуральных чисел. Для этого применим метод, который использовал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, когда ему не было и десяти лет. Его биографы отмечают, что как-то раз преподаватель, чтобы занять учеников, дал им задание вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Среди учеников был и Гаусс, который, к удивлению учителя, через несколько секунд протянул ему грифельную доску с правильным ответом. Юный Гаусс записал числа в два ряда, один над другим, и вычислил

суммы в каждом столбце:

Сумма чисел в нижнем ряду равна 100·101 = 10100, что в два раза больше требуемой суммы. Следовательно, правильный ответ равен

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 10100/2 = 5050.

Применим этот же метод в нашем, более общем случае:

Можно заметить, что формула суммы первых n натуральных чисел такова:

1 + 2 + 3 +… + n = n(n + 1)/2 (*)

Вернемся к нашей теореме и используем эту формулу (**):

Теперь у нас есть две формулы, в которых фигурирует n первых натуральных чисел. Подтвердить правильность этих формул экспериментально на бесконечном множестве чисел невозможно. Нужно найти стратегию, которая позволила бы обойти эту проблему. Математик рассуждает так: «Отлично, дана формула, верная для n– го натурального числа. Так как все натуральные числа получаются прибавлением единицы к предыдущему, то если формула верна для n– го числа, я докажу ее истинность для следующего натурального числа. Если я докажу, что формула, верная для n, верна и для n + 1, то я автоматически докажу ее истинность для всех натуральных чисел».

Именно так мы и поступим. Сначала мы докажем, что если формула (*) верна для n, то она будет верна и для n + 1. Затем проведем аналогичное доказательство для формулы (**). Докажем, что:

Нам всего лишь нужно показать, что разность между двумя выражениями в левой части равенства, равная n + 1, равна разности двух выражений в правой части равенства:

Достаточно найти значение правой части равенства, чтобы убедиться, что это в самом деле так. Аналогично доказывается истинность выражения (**). Теперь мы можем закончить решение нашей задачи о площади:

Последнее преобразование верно потому, что с ростом n значения выражений 1/2n и 1/4n² становятся все меньше и меньше. В пределе, когда значение n равно бесконечности, значение обоих выражений будет равно 0. Как следствие, площадь фигуры, ограниченной кривой у = х³, равна 1/4 = 0,25.

Наиболее выдающийся результат математического творчества, который мы применили в этом решении, таков: мы вписали в искомую фигуру, площадь которой мы хотим найти, ряд прямоугольников, площадь которых легко вычислить. Чем больше прямоугольников мы впишем в искомую фигуру, тем ближе сумма их площадей будет к площади искомой фигуры. Так как значения площадей прямоугольников в пределе приближаются к конкретному числу и мы можем это доказать, можно найти конкретное значение площади криволинейной фигуры. От геометрического параллелизма мы переходим к числовому и обратно. Мы решили более простую задачу, чем исходная, а затем использовали полученный результат для решения нужной задачи.