Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Шрифт:
* * *
Таким образом, желательно, чтобы это равенство выполнялось и для a = —1, b = 1 и с = —1:
— 1·(1–1) = -1·1 + (-1)·(-1) = -1 + (-1)·(-1);
— 1·(1–1) = -1·0 = 0.
Следовательно, должно выполняться равенство
— 1 + (-1)·(-1) = 0 => (-1)·(-1) = + 1.
Математики долгое время не могли понять, что правило знаков наряду с другими определениями, описывающими целые и дробные числа, нельзя доказать. Мы создаем эти правила и определения, чтобы получить свободу действий при соблюдении фундаментальных законов арифметики. Мы соглашаемся с Курантом и Роббинсом, которые утверждают, что единственное,
Поэтому логика приводит к удивительным результатам, с которыми порой непросто согласиться. Принимая правило, согласно которому «минус на минус дает плюс», мы соглашаемся не только с логикой, но и сами с собой, поскольку законы логики являются продуктом нашего мышления. Логичным будет принять последствия нашего решения, даже если они нам не нравятся или кажутся необычными.
Математики, например, могли отвергнуть отрицательные числа и сказать, что они мешают развитию знания. Отрицательные числа можно было счесть признаком безумия и доказательством нелогичности исходных предпосылок. Однако математики взяли на себя ответственность и расширили множество чисел, сохранив его согласованность и продвинув науку вперед.
Курант и Роббинс отдельно подчеркивают творческий аспект этого решения.
Принять необычные выводы, полученные на основе известных свойств и теорем, и ввести новые элементы и понятия — это типичный и распространенный пример математического творчества. Полученные результаты выглядят все более необычными, особенно если они противоречат устоявшимся представлениям или отстоят слишком далеко от элементарной математики, пригодной для того, чтобы считать камни на дне ручья.
Заниматься математикой означает испытывать математические переживания. Для этого нужно стремиться понимать мир и объяснять его определенным образом, с математической точки зрения, в которой окружающее поддается количественной оценке.
Об этом не говорится в эвристике Пойа, так как математические задачи порой могут выходить за рамки чисто академической среды, к которой принадлежит традиционная эвристика.
Цель математических вопросов, связанных с пережитым или испытанным, как внутри нашей научной и культурной среды, так и вне ее, — понять реальность и социальную, культурную или технологическую среду, в которой мы живем. Этот процесс является в высшей степени творческим, и к этой теме мы вернемся в главе 3.
Глава 2
Большие идеи для решения больших задач
Многие великие математические творения связаны с серьезными изменениями в развитии математики. Иногда очередное открытие или новая теорема помогали решить проблему, а иногда — противоречили общепринятой точке зрения. Некоторые величайшие математические творения стали настоящим вызовом разуму. То, что до определенного момента считалось иррациональным и бессмысленным, начинало использоваться для решения практических задач, чего раньше нельзя было и представить. Наиболее интересным примером, возможно, являются комплексные числа: как квадрат некоторого числа может быть отрицательным числом? И какой смысл имеют подобные числа?
Некоторые исследователи уверены, что математика развивается линейно. Однако эта точка зрения небесспорна. Линейное развитие математики, возможно, является лишь кажущимся, лишь следствием, подобно аксиомам и теоремам, которые представляют собой видимый итог длительных размышлений.
Счет состоит в определении числа элементов, образующих некоторую группу. Оценить число элементов в малых группах можно на глаз —
Однако различить группы, состоящие из более чем четырех или пяти элементов, уже не так просто. В этом случае счет необходим.
К первым разновидностям счета относятся попытки сопоставить числа с различными частями человеческого тела. Племена, обитающие на разных материках, использовали и до сих пор используют части тела для определения числа элементов множества (на языке математики это число называется мощностью множества).
Стадо или мешок рисовых зерен — это конечные множества. Натуральные числа также образуют множество, однако оно является бесконечным. Различить два конечных множества нетрудно: достаточно подсчитать число их элементов. Разница между множествами будет заключаться в том, что их мощность будет описываться разными числами. Далее вы увидите, что в случае с бесконечными множествами все обстоит совершенно иначе.
Подсчет имеет смысл, когда речь идет о конечных величинах. При этом мы избавляемся от отсылок к осязаемым предметам и сопоставляем каждой величине некий символ (устный или письменный). В отличие от счета на пальцах каждый символ сам по себе обозначает определенную величину. Такими символами являются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0, которыми мы обозначаем базовые величины.
Важным шагом стало определение основания системы счисления. Подсчет большого количества предметов, при котором для каждой отдельной величины используется свое обозначение, не просто трудоемок, но практически невозможен, так как рано или поздно все обозначения закончатся. Кроме того, наша память также имеет пределы. С изобретением позиционной системы счисления по некоторому основанию счет перестал быть чем-то экстраординарным. В позиционной системе счисления по основанию 10, которую используем мы, для представления любого числа, сколь бы велико оно ни было, применяется всего десять символов. Слова, которыми мы обозначаем числа, определяются этой системой счисления, и этих слов совсем немного. Отдельными словами обозначаются числа 0, 1, 2, 10, 20, 30, … а также 100, 1000, 1000000. Названия всех остальных чисел составляются из этих же слов.
* * *
СЧЕТ
Системы счета существовали во всех культурах. В большинстве из них определенным числам соответствуют части тела — это так называемый телесный счет. В 1992 году исследователь Глен Гин выделил свыше пятисот различных систем счета, которые бытовали на острове Новая Гвинея. На карте обозначены регионы, в которых используется телесный счет.
ТЕЛЕСНЫЙ СЧЕТ
Пример телесного счета аборигенов Торресова пролива, отделяющего Австралию от Новой Гвинеи, согласно Джорджу Ифра (1994). Обратите внимание на асимметричность счета относительно тела человека. При счете конечности и пальцы рук и ног обходятся по кругу.
* * *
При этом на практике обычно используются приемы и приспособления, упрощающие счет и позволяющие избежать ошибок. Риск ошибиться при счете тем больше, чем больше величина, поэтому мы обычно считаем парами, пятерками или десятками.
Почему нам удобнее считать парами, а не тройками или семерками? Для счета парами достаточно повторять последовательность 2, 4, 6, 8, 10, добавляя на каждом этапе единицу слева, то есть прибавляя десяток.