Учение о бытии

Гегель Георг Вильгельм Фридрих

Старейшие из новых, напр., Ферма, Барроу и др., которые впервые воспользовались применением бесконечно малых к тому, что впоследствии выработалось в дифференциальное и интегральное исчисление, затем также Лейбниц и др., равным образом Эйлер, постоянно открыто признавали возможным пренебрегать произведениями бесконечно малых разностей так же, _{175}как и наивысшими степенями, лишь потому, что они могут считаться исчезающими относительно низших степеней. У всех них это является единственным основоположением, именно определением того, что такое дифференциальные произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Прочее есть отчасти механизм действий, отчасти приложение, к которым однако, как будет показано далее, в действительности и сводится главный или, правильнее сказать, единственный интерес. В настоящее время достаточно провести лишь элементарное положение, что по тому же основанию незначительности, как главного положения, касающегося кривых, признается, что элементы кривых, именно приращения абсциссы и ординаты, имеют между собой то же отношение, как подкасательная и ордината; с целью получить подобные треугольники дуга, составляющая с обоими приращениями третью сторону треугольника, правильно названного перед тем характеристическим треугольником, принимается за прямую линию, за часть касательной, и потому одно из приращений за доходящее до касательной. Этими допущениями определения, с одной стороны, возвышаются над свойствами конечных величин; но с другой стороны к признаваемым за бесконечные моментам применяется прием, правомерный лишь относительно конечных величин, при котором мы не имеем права ничем пренебрегать по причине незначительности. Затруднение, тяготеющее над методом, остается при таком образе действия во всей своей силе.

Здесь нужно указать на замечательный прием Ньютона (Prin. math. phil. nat. lib. II lemma II после propos VII); он изобрел остроумный фокус (Kunstst"uck) для устранения арифметически неправильного пренебрежения произведениями бесконечно малых разностей и высшими их порядками при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения — из которого легко потом вывести дифференциалы частного, степени и т. п. — следующим путем. Произведение х

и у, если уменьшить каждый множитель наполовину его бесконечно малой разности, есть ху — xdy/2–ydx/2+dxdy/4, если же увеличить его настолько же, то произведение будет ху+xdy/2+ydx/2+dxdy/4. Если от этого произведения отнять первое, то получится разность ydx+xdy, которая есть приращение на целые dx и dy, так как на эту величину различаются оба произведения; следовательно это дифференциал ху. Как видно, при этом сам собою отпадает член, представлявший главное затруднение, произведение обеих бесконечно малых разностей dxdy. Но несмотря на имя Ньютона, следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неверно.

Неверно, будто (x+dx/2)(у+dy/2) — (х — dx/2)(у — dy/2) = (х+dx)(y+dy) — ху [24] . Лишь потребность, при важности исчисления флюксий, _{176}обосновать его могла побудить такого математика, как Ньютон, впасть в заблуждение подобного доказательства.

24

Первая часть этого равенства есть xdy+ydx, а вторая xdy+ydx+dxdy, т. е. для того, чтобы было равенство, все же требуется пренебречь членом dxdy, между тем как по доказательству Ньютона он должен сам собою отпасть. — Прим. переводч.

Другие формулы, с которым прибегает Ньютон для вывода дифференциала, связаны c конкретными относящимися к движению значениями элементов и их степеней. При употреблении формы ряда, которая вообще характерна для его метода, он близок к тому, чтобы сказать, что всегда в его власти путем прибавления дальнейших членов достигнуть потребной степени точности, вообще что результат есть некоторое приближение; он и здесь как бы довольствуется тем же основанием, к которому прибегает его метод решения уравнений высших степеней, при коем путем приближения высшие степени, возникающие через подстановку в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, отбрасываются по грубому основанию их малости; см. Lagrange Equations num'eriques p. 125.

Ошибка, в которую впал Ньютон в деле разрешения задачи путем пренебрежения существенными для нее высшими степенями, которая дала его противникам повод торжествовать триумф своего метода над его методом, и истинный источник которой обнаружил Лагранж в своих новейших исследованиях (Th'eorie des fonct. analyt L. P. 3 Ch. 14), доказывает, что формализм и неточность еще господствуют в деле употребления этого орудия. Лагранж показывает, что Ньютон потому впал в ошибку, что он пренебрегал членом ряда, содержащим именно ту степень, которая имела значение для данной задачи. Ньютон держался за формальный, поверхностный принцип пренебрежения членами в виду их относительной малости. Известно, что в механике членам ряда, в котором развивается функция движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция относится к моменту скорости, вторая — к силе ускорения, а третья — к сопротивлению сил. Поэтому члены ряда должны быть рассматриваемы тут не только, как части некоторой суммы, но как качественные моменты целостного понятия. Тем самым пренебрежение прочими членами, принадлежащими ложно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно различный от пренебрежения ими на основании относительной малости [25] . Ньютоново разрешение задачи ошибочно не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда, лишь как части некоторой суммы, но потому, что не принимается во внимание член, содержащий именно то качественное определение, которое в данном случае важно._{177}

25

Обе точки зрения весьма просто сопоставлены у Лагранжа при применении теории функций к механике, в главе о прямолинейном движении (Th'eorie des fonct. Р. 3. Ch. I art. 4). Если рассматривать пройденное пространство, как функцию протекшего времени, то получается уравнение x=ft, которое, развитое, как f(t+d), дает ft+df’t+(d²/2)f’’t и т. д.

Следовательно, пространство, пройденное в данное время, =df’t+(d²/2)f’’t+(d³/2*3)f’’’t и т. д. Движение, посредством которого проходится это пространство, го_{177}ворят нам, есть следовательно, т. е. поскольку аналитическое развитие дает много и именно бесконечно много членов, составленное из различных частичных движений, соответствующие времени пространства которых суть df’t, (d²/2)f’’t, (d³/2*3)f’’’t и т. д. Первое частичное движение есть известное формально равномерное движение со скоростью f’t, второе — равномерно ускоренное, зависящее от силы ускорения, пропорциональной f’’t. «А так как прочие члены не относятся ни к какому простому известному движению, то нет надобности принимать их в отдельности во внимание, и мы докажем, что от них можно отвлечь в определении движения в начале момента времени». Это и доказывается, но только через сравнение сказанного ряда, члены которого все служили для определения величины пространства, пройденного в данное время, с установленным в art. 3 для падения тел уравнением x=at+bt², в котором даны только эти два члена. Но это уравнение само получило такой вид лишь при предположении объяснения, данного происшедшим через аналитическое развитие членам его; это предположение состоит в том, что равномерно ускоренное движение составлено из формально равномерного, совершающегося с достигнутою в предыдущее время скоростью, и некоторой прибавки (а в s=at²), т. е. эмпирического коэффициента, приписываемого силе тяжести; это различение отнюдь не имеет существования или основания в природе вещей, но есть лишь получившее ложный физический смысл выражение того, что явствует из произведенной аналитической разработки вопроса.

В этом примере качественный смысл есть то, от чего зависит прием. В связи с тем можно тотчас же установить общее утверждение, что все затруднение принципа было бы устранено, если бы формализм определения дифференциала в дающей ему имя задаче, был заменен различением некоторой функции от ее изменения при приращении переменной величины, если бы было выяснено качественное значение принципа, и действия были бы поставлены от того в зависимость. При этом условии дифференциал хⁿ вполне исчерпывается первым членом ряда, получающегося через развитие (x+dx)ⁿ. Что прочие члены при этом не принимаются во внимание, зависит, стало быть, не от их относительной малости; тут не предполагается неточности, ошибки или заблуждения, которые могли бы быть исправлены или улучшены другим заблуждением. Таков взгляд, коим Kapно преимущественно оправдывает обычный метод исчисления бесконечных. Так как здесь дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал оказывается вполне найденным посредством первого члена; а там, где есть нужда в дальнейших членах, в дифференциалах высших порядков, то их нахождение состоит не в продолжении ряда, как суммы, но в повторении того же самого отношения, которое одно есть искомое, и которое найдено вполне уже в первом члене. Потребность суммирования формы их ряда и то, что с ним связано, должны таким образом быть совершенно отделены от этого интереса отношения.

Объяснения, которые Карно дает методу бесконечных величин, являются наиболее очищенным и ясно изложенным из всего, что содержится в вышеупомянутых представлениях. Но при переходе к самым действиям и у него выступают более или менее обычные представления о бесконечной ма_{178}лости опускаемых членов сравнительно с другими. Он оправдывает метод более фактом правильности его результатов и пользою, приносимою для упрощения и сокращения вычисления употреблением, как он их называет, несовершенных уравнений, т. е. таких, в которых допущено такое арифметически неверное опущение, чем природою самого дела.

Лагранж, как известно, вновь прибег к первоначальному методу Ньютона, методу рядов, для того, чтобы преодолеть

трудности, связанные как с представлением бесконечно малых, так и с методами первых и последних отношений и пределов. Достаточно привести из его учения о функциях, преимущества которого в отношении точности, отвлеченности и всеобщности признаны, впрочем, в достаточной мере, что оно покоится на том основоположении, что разность, не становясь нулем, может быть принята столь малою, чтобы каждый член был более суммы всех остальных членов. При этом методе также начинают с категорий приращения и разности функции, переменная величина которой содержит приращение первоначальной функции, с которым является докучный ряд; равно как в дальнейшем отбрасываемые члены ряда принимаются в соображение, лишь как сумма, и основание, почему они отбрасываются, полагается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, стало быть, и здесь определяется вообще не тою точкою зрения, которая отчасти имеет место при некоторых приложениях, при которых, как упомянуто выше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, но потому, что они незначительны по качеству; отчасти же отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом приложении дифференциального исчисления у Лагранжа, о чем еще будет говориться подробнее в следующем примечании.

Качественный характер вообще оказывается свойствен рассматриваемой здесь форме величины, которая называется бесконечно малым, что обнаруживается всего непосредственнее в вышеприведенной категории предела отношения; это ее проведение в исчислении образует своеобразный метод. Из того, что говорит Лагранж по поводу этого метода, именно что ему недостает легкости приложения, и что выражение предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе его аналитическое значение. В представлении предела именно и заключается вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами, ибо входящие в него формы их, dx и dy, должны быть взяты просто лишь как моменты dy/dx, и самое dy/dx должно считаться единым нераздельным означением. Здесь нужно оставить в стороне то обстоятельство, что тем самым механизм исчисления особенно в его приложении утрачивает преимущество, извлекаемое им из того, что члены дифференциального коэффициента отделяются один от другого. Этот предел _{179}должен быть пределом данной функции; он должен иметь известное значение в связи с нею, определяемое способом вывода. С простою категориею предела мы не подвинулись бы далее, чем с тем, с чем мы имеем дело в этом примечании, именно показали бы только, что бесконечно малое, изображаемое в дифференциальном исчислении, как dx и dy, имеет не только отрицательный, пустой смысл некоторой не конечной, не данной величины, как например, когда говорится «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., но определенный смысл качественной определенности количественного, моментов отношения, как таковых. Эта категория в таком виде не имеет еще никакого отношения к тому, что есть некоторая данная функция, не помогает еще сама по себе ее разработке и не приводит к употреблению, которое должно бы иметь место при таком определении; таким образом представление предела, ограниченное такою указанною ему определенностью, не приводило бы ни к чему. Но выражение «предел» содержит уже в себе самом указание на то, что он есть предел нечто, т. е. имеет известное значение, определяемое функциею переменных величин; и должно рассмотреть, к чему приводит этот его конкретный смысл. Он должен быть пределом отношения двух приращений, на которые признаются увеличивающимися две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна считается функциею другой; приращение принимается здесь неопределенно и вообще, и поэтому о бесконечно малом нет еще и речи. Но ближайшим образом путь к нахождению этого предела приводит к таким же непоследовательностям, какие свойственны и другим методам. А именно этот путь таков. Если fx=y, то, при переходе у в у+k, fx переходит в fx+ph+gh²+rh³ и т. д., следовательно k=ph+gh²+rh³ и т. д. а k/h=p+gh+rh² и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезают все члены ряда, кроме p, который и оказывается пределом отношения обоих приращений. Отсюда видно, что хотя h и k, как определенные количества, полагаются =0, но что оттого k/h еще не обращается в 0/0, но остается некоторым отношением. Но представление предела должно обладать тем преимуществом, что оно устраняет заключающуюся тут непоследовательность; р должно быть не тем действительным отношением, которое превратилось в 0/0, но иметь лишь определенное значение, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать менее всякой данной разности. Более определенный смысл приближения в отношении к тому, что собственно должно между собою сближаться, будет рассмотрен ниже. Но что количественное различие, определяемое не только, как могущее, но как долженствующее быть менее всякой данной величины, не есть уже количественное различие, это ясно само по себе и настолько очевидно, насколько может быть что-нибудь очевидно в математике; тем самым, _{180}однако, мы не подвигаемся далее dy/dx=0/0. Если же, напротив, dy/dx принимается за р, т. е. за определенное количественное отношение, как это и есть в действительности, то, наоборот, является затруднение в предположении h=0, в предположении, путем которого единственно и получается k/h=p. Если же допустить, что k/h=0, причем, однако, вместе с h=0 и самое k=0 (так как приращение k имеет место лишь при условии существования h), то является вопрос, куда же девается р, которое имеет совершенно определенное количественное значение. На это нам тотчас же дается простой и сухой ответ, что р есть коэффициент, возникающий путем такого-то вывода — известным определенным образом полученная первая производная функция первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как по существу дела довольствуется им Лагранж, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно самая та форма, которая именуется теориею пределов, окажется освобожденною от приращений, от их бесконечной или любой малости, от затруднения, состоящего в том, что кроме первого члена или, правильнее, лишь коэффициента первого члена устраняются дальнейшие члены ряда, кроме тех, которые неустранимы при употреблении данных приращений; кроме того, она очищается и от другого, связанного с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, далее бесконечного приближения и других столь же пустых категорий непрерывных величин [26] и всего того, что считается нужным ввести, как стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае нужно бы было показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейшей математической потребности, имеет р, независимо от того совершенно достаточного для теории сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем развития бинома производная _{181}функция; об этом будет сказано во втором примечании. Здесь же следует ближайшим образом разобраться в той запутанности, которая вносится через вышеуказанное столь часто встречающееся в изложениях употребление представления приближения в понимание собственной качественной определенности отношения.

26

Категория непрерывной или текучей величины возникает при рассмотрении внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных путем уравнения в такое отношение, при котором одна есть функция другой; но так как научный предмет дифференциального исчисления есть известное (обыкновенно выражаемое через дифференциальный коэффициент) отношение, определенность которого может быть также названа законом, то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти нечто постороннее, отчасти во всяком случае отвлеченная и в этом смысле пустая категория, так как она не выражает ничего о законе непрерывности. В какие формальные определения при этом совершенно погружаются, видно из остроумного общего изложения моим уважаемым товарищем проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода дифференциального исчисления, которое (изложение) примыкает к критике некоторых новых сочинений по этой науке и помещено в Jahrb. f. wissensch. Kritik 1827 № 153 и сл.; там на стр. 1251 приводится даже определение: «непрерывная величина, непрерывность есть всякая величина, мыслимая в состоянии такого становления, чтобы последнее происходило не скачками, а путем непрерывного процесса». Но эта тожесловное повторение того, что есть и самое definitum.

Было указано, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения, как количеств, и что то, что остается за сим, есть их количественное отношение лишь постольку, поскольку оно определено качественно; качественное отношение при этом в такой мере сохраняется, что оно оказывается именно тем, что возникает через переход конечных величин в бесконечные. В этом состоит, как мы видели, вся суть дела. Так, напр., в последнем отношении, исчезают, как количества, абсцисса и ордината; но члены этого отношения остаются по существу один — элементом ординаты, другой — элементом абсциссы. По обычному способу представления, состоящему в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, первая ордината переходит во вторую, а соответствующая первой абсцисса — в соответствующую второй; но во всяком случае ордината не переходит в абсциссу, а абсцисса в ординату. Но элемент ординаты, если оставаться при этом примере переменных величин, должен быть понимаем, не как разность одной ординаты от другой, а как различение или качественно– количественное определение относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины относительно другой проявляется в их взаимном отношении. Различение, поскольку оно не есть уже различение конечных величин, перестало быть многообразным внутри себя самого; оно совпало в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.