Абсолютный минимум. Как квантовая теория объясняет наш мир

Файер Майкл

В боровской модели водорода электрон обращается вокруг протона, как планета вокруг Солнца. В наинизшем энергетическом состоянии атома водорода (n=1) электрон движется вокруг протона по окружности. В более высоких энергетических состояниях орбита электрона с n больше 1 может принимать различные формы. Некоторые из них остаются окружностями, но другие оказываются эллипсами. С учётом сказанного в предыдущих главах эта картина электрона, обращающегося вокруг протона, должна немедленно вызвать срабатывание «тревожной сигнализации». В главе 6 обсуждался принцип неопределённости Гейзенберга. Мы знаем, что движение абсолютно малой частицы не может описываться классической траекторией. Для описания траектории необходимо

знать положение и импульс частицы на протяжении всего времени движения. Однако принцип неопределённости Гейзенберга гласит, что невозможно одновременно и точно знать положение и импульс. В соответствии с соотношением неопределённости x•p>=h/4, где h — постоянная Планка. Абсолютно малые частицы описываются волнами амплитуды вероятности, а не траекториями. Конечно, в 1913 году, когда Бор выдвинул своё математическое описание атома водорода, природа абсолютно малых частиц была ещё неизвестна.

Ошибочность боровского подхода становится очевидной, когда он применяется к системам, отличным от атома водорода. Хотя он способен очень точно предсказать энергетические уровни, а тем самым и спектр атома водорода, он не позволяет сделать это для второго по простоте атома — гелия. Не может он предсказать и свойств простейшей молекулы, а именно молекулы водорода, которая состоит из двух атомов. Метод отбора не объясняет силу химической связи, которая удерживает вместе два атома водорода в молекуле. Тем не менее Бор сделал огромный шаг в правильном направлении, а ошибки его подхода в конечном счёте привели к созданию истинной квантовой теории в 1925 году.

10. Атом водорода: квантовая теория

В 1925 году Шрёдингер и Гейзенберг независимо друг от друга разработали квантовую теорию. Созданные ими два формализма различались с математической точки зрения, но оба были точными и стали основанием для современной квантовой теории. Примерно в то же время Дирак также сделал крупный вклад в науку. Во-первых, он предложил объединённый взгляд на квантовую теорию, в рамках которого показал, что теории Шрёдингера и Гейзенберга, несмотря на математические различия, являются эквивалентными представлениями квантовой механики. Кроме того, он разработал квантовую теорию атома водорода, совместимую с теорией относительности Эйнштейна.

Для описания атомов и молекул обычно используется формулировка Шрёдингера. Поэтому в большинстве случаев мы будем начинать с атома водорода, а затем переходить к более крупным атомам и молекулам, опираясь при этом на понятия и язык, соответствующие шрёдингеровскому подходу.

Уравнение Шрёдингера

Мы использовали очень простой, но корректный математический метод определения энергетических уровней и волновых функций частицы в ящике, но этот метод не является универсальным. Например, он не может использоваться для определения энергетических уровней и волновых функций атома водорода. На самом деле используемые нами понятия, такие как волновые функции и волны амплитуды вероятности, пришли из шрёдингеровской формулировки квантовой механики. Уравнение Шрёдингера — это сложное дифференциальное уравнение в трёх измерениях. Мы не будем касаться математического аппарата, позволяющего решать уравнение Шрёдингера для атома водорода или других атомов и молекул. Однако мы воспользуемся многими полученными с его помощью результатами, чтобы ознакомиться с устройством атомов и молекул, начиная с атома водорода.

Решение задачи об атоме водорода с помощью уравнения Шрёдингера особенно важно, потому что оно является точным. Атом водорода — это пример так называемой задачи двух тел. В ней рассматриваются лишь две частицы: протон и электрон. Следующим по простоте является атом гелия, состоящий из ядра с зарядом +2 и двух отрицательно заряженных электронов. Это задача трёх тел, которую невозможно решить точно. Задача определения орбиты Земли, обращающейся вокруг Солнца, с Луной, обращающейся вокруг Земли, не имеет точного решения в классической механике. Однако и в квантовой, и в классической механике есть очень изощрённые приближённые методы,

позволяющие с необходимой точностью решать задачи, которые нельзя решить аналитически. То, что метод является приближённым, не означает, что он грубый. И всё же поскольку задачу об атоме водорода в квантовой механике можно решить точно, она является важной отправной точкой для понимания более сложных атомов и молекул.

Что уравнение Шрёдингера говорит нам о водороде

Что даёт нам решение уравнения Шрёдингера для атома водорода? Оно позволяет определить энергетические уровни атома водорода и волновые функции, связанные с каждым состоянием этого атома. Волновые функции — это трёхмерные волны амплитуды вероятности, которые описывают области пространства, где может быть обнаружен электрон. Решение Шрёдингера для задачи об атоме водорода даёт значения энергетических уровней, совместимые с эмпирически полученной формулой Ридберга:

E_n=-R_H/n²,

где n — главное квантовое число. Это целочисленная величина, которая может принимать значения >=1, то есть быть больше либо равной единице.

Разница в энергии между любыми двумя энергетическими уровнями даётся формулой Ридберга. Однако в решении Шрёдингера величина R_H не является эмпирическим параметром. Решая эту задачу, Шрёдингер нашёл, что постоянная Ридберга связана с фундаментальными постоянными формулой

R_H=-•e⁴/8•₀²•h².

Здесь h — постоянная Планка;

e — заряд электрона;

₀=8,54•10^{– 12} Кл²/Дж•м — постоянная, называемая диэлектрической проницаемостью вакуума;

— приведённая масса протона и электрона:

=m_p•m_e/(m_p+m_e),

где m_p и m_e — массы протона и электрона соответственно. Значения заряда и массы электрона и протона уже приводились выше.

Если Ридберг получил экспериментальные данные и вывел эмпирическую формулу, описывающую линии спектра атома водорода, то в решении Шрёдингера для задачи об атоме водорода квантовая теория используется совершенно иным образом. Мы немного задержимся, чтобы восхититься триумфом квантовой теории, достигнутым в 1925 году. При выводе Шрёдингером энергетических уровней атома водорода не использовалось никаких подгоночных параметров. Все необходимые константы — это фундаментальные свойства частиц и электростатического взаимодействия, благодаря которому отрицательно заряженный электрон притягивается к положительно заряженному протону. Шрёдингер не обращался к экспериментальным данным, чтобы подогнать константу R_H для лучшего совпадение с ними. Он создал теоретический формализм и применил его к атому водорода. Его теория в точности воспроизвела результаты экспериментальных наблюдений — спектральные линии атома водорода, опираясь только на фундаментальные постоянные.