Большая книга занимательных наук

Перельман Яков Исидорович

Рис. 5. Влияние приплюснутости небесного свода на кажущиеся размеры светил

Есть здесь и другая поучительная сторона. Любуясь огромным лунным диском близ горизонта, заметили ли вы на нем хотя бы одну новую черточку, которой не удалось вам различить на диске высоко стоящей Луны? Нет? Но ведь перед вами увеличенный диск, отчего же не видно новых подробностей? Оттого, что здесь нет того увеличения, какое дает, например, бинокль: здесь не увеличивается угол зрения, под которым представляется нам предмет.

Только увеличение этого угла помогает нам различать новые подробности; всякое иное «увеличение» есть просто обман зрения, для нас совершенно бесполезный.

Определение величины данного угла без всяких измерений

Для измерения углов на местности нам нужен хотя бы компас, а иной раз достаточно и собственных пальцев или спичечной коробки. Но может возникнуть необходимость измерить угол, нанесенный на бумагу, на план или на карту.

Разумеется, если есть под руками транспортир, то вопрос решается просто. А если транспортира нет, например в походных условиях? Геометр не должен растеряться и в этом случае. Как бы вы решили следующую задачу?

ЗАДАЧА Изображен угол АОВ (рис. 6), меньший 180°. Определить его величину без измерений.

РЕШЕНИЕ

Можно было бы из произвольной точки стороны ВО опустить перпендикуляр на сторону АО, в получившемся прямоугольном треугольнике измерить катеты и гипотенузу, найти синус угла, а затем и величину самого угла. Но такое решение задачи не соответствовало бы жесткому условию – ничего не измерять!

Рис. 6. Как определить величину изображенного угла ЛОВ, пользуясь только циркулем?

Воспользуемся решением, предложенным в 1946 г. 3. Рупейка из Каунаса.

Из вершины О, как из центра, произвольным раствором циркуля построим полную окружность. Точки С и D ее пересечения со сторонами угла соединим отрезком прямой.

Теперь от начальной точки С на окружности будем откладывать последовательно при помощи циркуля хорду CD в одном и том же направлении до тех пор, пока ножка циркуля опять совпадет с исходной точкой С.

Откладывая хорды, мы должны считать, сколько раз за это время будет обойдена окружность и сколько раз будет отложена хорда.

Допустим, что окружность мы обошли п раз и за это время S раз отложили хорду CD. Тогда искомый угол будет равен

Действительно, пусть данный угол содержит х°; отложив на окружности хорду CD S раз, мы как бы увеличили угол х° в S раз, но так как окружность при этом оказалась пройденной п раз, то этот угол составит 360° · п, т. е. х°– S = 360° · п; отсюда

Для угла, изображенного на чертеже, п = 3, S = 20 (проверьте!),

следовательно,

. При отсутствии циркуля окружность можно описать при помощи булавки и полоски бумаги; хорду можно откладывать при помощи той же бумажной полоски.

Загадочное кружение

Интересно отметить одно загадочное явление, которое наблюдается у людей, бродящих с закрытыми глазами: они не могут идти по прямому направлению, а непременно сбиваются в сторону, описывая дугу, воображая, однако, что движутся прямо вперед (рис. 7).

Давно замечено также, что и путешественники, странствующие без компаса по пустыне, по степи в метель или в туманную погоду, – вообще во всех случаях, когда нет возможности ориентироваться, – сбиваются с прямого пути и блуждают по кругу, по нескольку раз возвращаясь к одному и тому же месту. Радиус круга, описываемого при этом пешеходом, – около 60—100 м; чем быстрее ходьба, тем радиус круга меньше, т. е. тем теснее замыкаемые круги.

Производились даже специальные опыты для изучения склонности людей сбиваться с прямого пути на круговой. Вот что сообщает о таких опытах Герой Советского Союза И. Спирин:

«На гладком зеленом аэродроме были выстроены сто будущих летчиков. Всем им завязали глаза и предложили идти прямо вперед. Люди пошли… Сперва они шли прямо; потом одни стали забирать вправо, другие – влево, постепенно начали делать круги, возвращаясь к своим старым следам».

Рис. 7. Ходьба с закрытыми глазами

Известен аналогичный опыт в Венеции на площади Марка. Людям завязывали глаза, ставили их на одном конце площади, как раз против собора, и предлагали до него дойти. Хотя пройти надо было всего только 175 м, все же ни один из испытуемых не дошел до фасада здания (82 м ширины), а все уклонялись в сторону, описывали дугу и упирались в одну из боковых колоннад (рис. 8).

Рис. 8. Схема опыта на площади Марка в Венеции

Кто читал роман Жюля Верна «Приключения капитана Гаттераса», тот помнит, вероятно, эпизод о том, как путешественники наткнулись в снежной необитаемой пустыне на чьи-то следы:

«– Это наши следы, друзья мои! – воскликнул доктор. – Мы заблудились в тумане и набрели на свои же собственные следы…».

Классическое описание подобного блуждания по кругу оставил нам Л.H. Толстой в рассказе «Хозяин и работник»:

«Василий Андреич гнал лошадь туда, где он почему-то предполагал лес и сторожку. Снег слепил ему глаза, а ветер, казалось, хотел остановить его, но он, нагнувшись вперед, не переставая гнал лошадь.

Минут пять он ехал, как ему казалось, все прямо, ничего не видя, кроме головы лошади и белой пустыни.

Вдруг перед ним зачернело что-то. Сердце радостно забилось в нем, и он поехал на это черное, уже видя в нем стены домов деревни. Но черное это было выросший на меже высокий чернобыльник… И почему-то вид этого чернобыльника, мучимого немилосердным ветром, заставил содрогнуться Василия Андреича, и он поспешно стал погонять лошадь, не замечая того, что, подъезжая к чернобыльнику, он совершенно изменил прежнее направление.