Большая книга занимательных наук
Шрифт:
Рис. 13. Измерение длины указательного пальца
Далее, для этой же цели полезно измерить и запомнить длину своего указательного пальца, считая ее двояко: от основания среднего пальца (рис. 13) и от основания большого. Точно так же должно быть известно вам наибольшее расстояние между концами указательного и среднего пальцев, – у взрослого около 10 см (рис. 14). Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев. Ширина трех средних пальцев, плотно сжатых, примерно 5 см.
Рис. 14. Измерение расстояния
Вооруженные всеми этими сведениями, вы сможете довольно удовлетворительно выполнять разнообразные измерения буквально голыми руками, даже и в темноте. Пример представлен на рис. 15: здесь измеряется пальцами окружность стакана. Исходя из средних величин, можно сказать, что длина окружности стакана приблизительно равна 23 см.
Рис. 15. Измерение окружности стакана «голыми руками»
Практическая геометрия египтян и римлян
Любой школьник вычисляет теперь длину окружности по диаметру гораздо точнее, чем мудрейший жрец древней страны пирамид или самый искусный архитектор великого Рима. Древние египтяне считали, что окружность длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне – в 3,12, между тем правильное отношение – 3,14159… Египетские и римские математики установили отношение длины окружности к диаметру не строгим геометрическим расчетом, как позднейшие математики, а нашли его просто из опыта. Но почему получались у них такие ошибки? Разве не могли они обтянуть какую-нибудь круглую вещь ниткой и затем, выпрямив нитку, просто измерить ее?
Без сомнения, они так и поступали; но не следует думать, что подобный способ должен непременно дать хороший результат. Вообразите, например, вазу с круглым дном диаметром в 100 мм. Длина окружности дна должна равняться 314 мм. Однако на практике, измеряя ниткой, вы едва ли получите эту длину: легко ошибиться на один миллиметр, и тогда к окажется равным 3,13 или 3,15. А если примете во внимание, что и диаметр вазы нельзя измерить вполне точно, что и здесь ошибка в 1 мм весьма вероятна, то убедитесь, что для п получаются довольно широкие пределы между
т. е. в десятичных дробях между 3,09 и 3,18.
Вы видите, что, определяя я указанным способом, мы можем получить результат, не совпадающий с 3,14: один раз получим 3,1, другой раз 3,12, третий 3,17 и т. п. Случайно может оказаться среди них и 3,14, но в глазах вычислителя это число не будет иметь больше веса, чем другие.
Такого рода опытный путь никак не может дать сколько-нибудь приемлемого значения для к. В связи с этим становится более понятным, почему Древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру, и понадобился гений Архимеда, чтобы найти для я значение 31/7 – найти без измерений, одними лишь рассуждениями.
«Это я знаю и помню прекрасно»
В «Алгебре» древнего арабского математика Магомета-бен-Муза о вычислении длины окружности читаем такие строки:
«Лучший способ – это умножить диаметр на 31/7. Это самый скорый и самый легкий способ. Богу известно лучшее».
Теперь мы знаем, что и архимедово число 31/7 не вполне точно выражает отношение длины окружности к диаметру Теоретически доказано, что отношение это вообще не может быть выражено какой-либо точной дробью. Мы можем написать его лишь с тем или иным приближением, впрочем, далеко превосходящим точность, необходимую для самых строгих требований практической жизни. Математик XVI века Лудольф в Лейдене имел терпение вычислить π с 35 десятичными знаками и завещал вырезать это значение на своем могильном памятнике [53] (рис. 16).
53
Тогда еще это обозначение л не было в употреблении: оно введено лишь с середины XVIII века знаменитым русским академиком,
Рис. 16. Математическая надгробная надпись
Вот оно: 3,14159265358979323846264338327950288…
Некий Шенке в 1873 г. опубликовал такое значение числа я, в котором после запятой следовало 707 десятичных знаков! Такие длинные числа, приближенно выражающие значение я, не имеют ни практической, ни теоретической ценности. Только от безделья да в погоне за дутыми «рекордами» могло в наше время возникнуть желание «переплюнуть» Шенкса: в 1946–1947 гг. Фергюсон (Манчестерский университет) и независимо от него Ренч (из Вашингтона) вычислили 808 десятичных знаков для числа π и были польщены тем, что в вычислениях Шенкса обнаружили ошибку начиная с 528 знака.
Если бы мы пожелали, например, вычислить длину земного экватора с точностью до 1 см, предполагая, что знаем длину его диаметра точно, то для этого нам вполне достаточно было бы взять всего 9 цифр после запятой в числе π . А взяв вдвое больше цифр (18), мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0001 мм (в 100 раз меньше толщины волоса!).
Чрезвычайно ярко показал абсолютную бесполезность даже первой сотни десятичных знаков числа п наш соотечественник, математик Граве. Он подсчитал, что если представить себе шар, радиус которого равен расстоянию от Земли до Сириуса, т. е. числу километров равному 132 с десятью нулями: 132 · 1010, наполнить этот шар микробами, полагая в каждом кубическом миллиметре шара по одному биллиону микробов, затем всех этих микробов расположить на прямой линии так, чтобы расстояние между каждыми двумя соседними микробами снова равнялось расстоянию от Сириуса до Земли, то, принимая этот фантастический отрезок за диаметр окружности, можно было бы вычислить длину получившейся гигантской окружности с микроскопической точностью – до
мм, беря 100 знаков после запятой в числе π.
Правильно замечает французский астроном Араго, что «в смысле точности мы ничего не выиграли бы, если бы между длиною окружности и диаметром существовало отношение, выражающееся числом вполне точно».
Для обычных вычислений с числом π вполне достаточно запомнить два знака после запятой (3,14), а для более точных – четыре знака (3,1416: последнюю цифру берем 6 вместо 5 потому, что далее следует цифра, большая 5).
Небольшие стихотворения или яркие фразы дольше остаются в памяти, чем числа, поэтому для запоминания какого-либо числового значения π придумывают особые стихотворения или отдельные фразы. В произведениях этого вида «математической поэзии» слова подбирают так, чтобы число букв в каждом слове последовательно совпадало с соответствующей цифрой числа π.
Известно стихотворение на английском языке – в 13 слов, следовательно, дающее 12 знаков после запятой в числе π ; на немецком языке – в 24 слова, а на французском языке в 30 слов [54] (а есть и в 126 слов!).
54
Вот эти стихотворения:
а) английское:
See I have a rhyme assisting
My feeble brain, its tasks offtimes resisting.
б) немецкое:
Wie о dies n
Macht ernstlich, so vielen viele Miih’!
Lernt immerhin, Jiingltnge, leichte Verselein,
Wie so zum Beispiel dies diirfte zu merken sein’.
в) французское:
Que j’aime a faire apprendre un nombre utile aux sages!
Jmmortel Archimede, sublime ingenieur,
Qui de ton jugement peut sender la valeur?
Pour moi ton probleme eut de pareils avantages.