Большая книга занимательных наук
Шрифт:
100 k + 76.
Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:
1000а + 100А: + 76, 10006 + 100А: + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
1 000 000 ab + 100 000 ak + 100 000 bk + 76 000 a + 76 000 b + 10 000 k 2 + 15 200 k + 5776.
Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100£ + 76, если разность
15 200 k + 5776 – (100 k + 76) = 15 100 k + 5700 = 15 000 k + 5000 + 100
делится на 1000. Это, очевидно, будет только при к= 3.
Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:
3762= 14 1 376.
Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l , то придем к задаче: при каком l произведение
(10 000а + 1000 l + 376) · (10 000b + 1000 l + 376)
оканчивается на 1000 l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на четыре нуля и более, то останутся члены
752 000 l + 141 376.
Произведение оканчивается на 1000 l + 376, если разность
752 000 l + 141 376 – (1000 l + 376) = 751 000 l + 141 000 = (750 000 l + 140 000) + 1000 · ( l + 1)
делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при l = 9.
Искомая четырехзначная группа цифр 9376. Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09 376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109 376, затем 7 109 376 и т. д.
Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим «число», у которого бесконечно много цифр:
…7 109 376.
Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение («столбиком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой – сколько угодно цифр.
Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению
х2 = х
В самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного «числа» оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры «числа» х2, где х =…7 109 376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х2 = х.
Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76 [61] . Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:
5, 25, 625, 0625, 90 625, 890 625, 2 890 625 и т. д.
В результате мы сможем написать еще одно бесконечное «число»
…2 890 625,
также удовлетворяющее уравнению х2=х. Можно было бы показать, что это бесконечное «число» «равно»
61
Заметим,
Полученный интересный результат на языке бесконечных «чисел» формулируется так: уравнение х2 = х имеет (кроме обычныхх = 0 их = 1) два «бесконечных» решения:
x=…l 109 376 их =…2 890 625,
а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет.
Пифагоровы числа
Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 1). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4 а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А — прямой.
Рис. 1
Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как
32+ 42= 52.
Кроме чисел 3, 4, 5 существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению
а2 + Ь2 = с2.
Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют «катетами», а с — «гипотенузой».
Ясно, что если а, Ь, с есть тройка пифагоровых чисел, то и pa, pb, рс, где р — целочисленный множитель, – пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел…
Сто тысяч за доказательство теоремы
Одна задача из области неопределенных уравнений приобрела громкую известность, так как за правильное ее решение было завещано целое состояние: 100 000 немецких марок!
Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы, или «великого предложения» Ферма.
Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно.