Большая книга занимательных наук
Шрифт:
…Приведем пример, когда уравнение оказывается словно предусмотрительнее того, кто его составил.
Мяч брошен вверх со скоростью 25 м в секунду. Через сколько секунд он будет на высоте 20 м над землей?
РЕШЕНИЕ
Для тел, брошенных вверх при отсутствии сопротивления воздуха, механика устанавливает следующее соотношение между высотой подъема тела над землей ( h ), начальной скоростью ( v ), ускорением тяжести ( g ) и временем ( t ):
Сопротивлением
а после упрощения
t 2 − 5 t + 4 = 0. Решив уравнение, имеем:
t 1 = 1 и t 2 = 4.
Мяч будет на высоте 20 м дважды: через 1 секунду и через 4 секунды.
Это может, пожалуй, показаться невероятным, и, не вдумавшись, мы готовы второе решение отбросить. Но так поступить было бы ошибкой! Второе решение имеет полный смысл; мяч должен действительно дважды побывать на высоте 20 м: раз при подъеме и вторично при обратном падении. Легко рассчитать, что мяч при начальной скорости 25 м в секунду должен лететь вверх 2.5 секунды и залететь на высоту 31,25 м. Достигнув через 1 секунду высоты 20 м, мяч будет подниматься еще 1.5 секунды, затем столько же времени опускаться вниз снова до уровня 20 м и, спустя секунду, достигнет земли.
Седьмое действие
Мы упоминали уже, что пятое действие – возвышение в степень – имеет два обратных. Если
аb = с ,
то разыскание а есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b — другое, логарифмирование. Полагаю, что читатель этой книги знаком с основами учения о логарифмах в объеме школьного курса. Для него, вероятно, не составит труда сообразить, чему, например, равно такое выражение:
Нетрудно понять, что если основание логарифмов а возвысить в степень логарифма числа b , то должно получиться это число b .
Для чего были придуманы логарифмы? Конечно, для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорит о своих побуждениях:
«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».
В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том,
Не без основания писал Лаплас, что «изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». Великий математик говорит об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.
Нам, привыкшим к употреблению логарифмов и к доставляемым ими облегчениям выкладок, трудно представить себе то изумление и восхищение, которое вызвали они при своем появлении. Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретением десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера: «Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление». Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию, чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал:
«Я предпринял это долгое путешествие с единственной целью видеть вас и узнать, помощью какого орудия остроумия и искусства были вы приведены к первой мысли о превосходном пособии для астрономии – логарифмах. Впрочем, теперь я больше удивляюсь тому, что никто не нашел их раньше, – настолько кажутся они простыми после того, как о них узнаешь».
Логарифмы на эстраде
Самый поразительный из номеров, выполняемых перед публикой профессиональными счетчиками, без сомнения, следующий. Предуведомленные афишей, что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней из многозначных чисел, вы заготовляете дома путем терпеливых выкладок 31-ю степень какого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-значным числовым линкором. В надлежащий момент вы обращаетесь к счетчику со словами:
– А попробуйте извлечь корень 31-й степени из следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.
Виртуоз-вычислитель берет мел, но прежде чем вы успели открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у него уже написан результат: 13.
Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-й степени, да еще в уме, да еще с молниеносной быстротой!..
Вы изумлены, уничтожены, а между тем во всем этом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто в том, что существует только одно число, именно 13, которое в 31-й степени дает 35-значный результат. Числа, меньшие 13, дают меньше 35 цифр, большие – больше.
Откуда, однако, счетчик знал это? Как разыскал он число 13? Ему помогли логарифмы, двузначные логарифмы, которые он помнит наизусть для первых 15–20 чисел. Затвердить их вовсе не так трудно, как кажется, особенно если пользоваться тем, что логарифм составного числа равен сумме логарифмов его простых множителей. Зная твердо логарифмы 2, 3 и 7 (напомним, что
, вы уже знаете логарифмы чисел первого десятка; для второго десятка требуется помнить логарифмы еще четырех чисел.