Большая книга занимательных наук
Шрифт:
При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно вместо множителей
3 х 7 х 13 х 37 можете взять следующие группы множителей:
21 х 13 х 37; 7 х 39 х 37; 3 х 91 х 37; 7 х 13 х 111.
Число это – 10101, – пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. О нем писалось, впрочем, еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в главе, где приводятся примеры умножения «с некоим
Число 10001
С этим числом вы также можете проделать фокусы вроде предыдущих, хотя, пожалуй, не столь эффектные. Дело в том, что оно представляет собой произведение только двух простых чисел:
10001 = 73 х 137.
Как воспользоваться этим для выполнения арифметических действий «с удивлением», читатель, надеюсь, после всего сказанного выше догадается сам.
Шесть единиц
В следующей витрине мы видим новую диковинку арифметической кунсткамеры – число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что
111111= 111 х 1001.
Но 111 = 3 х 37, а 1001 = 7 х 11 х 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:
3 × (7 × 11 × 13 × 37) = 3 × 37037 = 111111
7 × (3 × 11 × 13 × 37) = 7 × 15873 = 111111
11 × (3 × 7 × 13 × 37) = 11 × 10101 = 111111
13 × (3 × 7 × 11 × 37) = 13 × 8547 = 111111
37 × (3 × 7 × 11 × 13) = 37 × 3003 = 111111
(3 × 7) × (11 × 13 × 37) = 21 × 5291 = 111111
(3 × 11) × (7 × 13 × 37) = 33 × 3367 = 111111
и т. д.
Вы можете, значит, засадить кружок из 15 товарищей за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111.
То же число, 111111, пригодно и для отгадывания задуманных чисел наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумывать число однозначное, т. е. цифру, и повторять 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3,7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса. Как надо поступать в этих случаях, предоставляю подумать читателю.
На примере числа 111111 читатель видит, как можно использовать для арифметических фокусов число, состоящее из одних лишь единиц, если оно разлагается на множители. К счастью для любителей подобных фокусов, многие числа такого начертания составные, а не простые.
Из первых 17 чисел этого рода только два наименьшие – 1 и 11 – простые, остальные – составные. Вот как разлагаются на простые множители первые десять из составных чисел этого начертания:
Не все приведенные здесь числа удобно использовать для отгадывания; в некоторых случаях выполнение фокуса возложило бы на загадчика чересчур обременительную работу. Но числа из 3, из 4,
Числовые пирамиды
В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.
Пирамида 1
Как объяснить эти своеобразные результаты умножения?
Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды:
123456 х 9 + 7.
Вместо умножения на 9, можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:
Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.
Мы можем уяснить себе это исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть
1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345…, вдесятеро уменьшенное и предварительно лишенное последней цифры. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (а умножить на 10 и отнять множимое – значит умножить на 9).
Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр:
Пирамида 2
Особенно интересна в этой пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением. Объясним эту особенность.
Получение странных результатов уясняется из следующей строки: [67]
то есть 12345 х 8 + 5 = 111111 – 12346. Но вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр – 98765.
Вот наконец третья числовая пирамида, также требующая объяснения:
Пирамида 3
67
Почему 12345 х 9 + 6 дает именно 111111, было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.