Большая книга занимательных наук
Шрифт:
Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собой длинную историю и что число 12 не без основания очутилось в галерее числовых диковинок. Зато его соседка – «чертова дюжина», 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь «страшным» для суеверных людей?
Как было распространено это суеверие (зародившееся в древнем Вавилоне), видно из того, что царское правительство при устройстве электрического трамвая в Петербурге долго не решалось вводить маршрут № 13 и пропустило его, перейдя сразу на № 14: власти думали, что публика
В следующей витрине арифметической кунсткамеры перед нами
Число 365
Оно замечательно не только тем, что определяет число дней в году. Прежде всего, оно при делении на 7 дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.
Другая особенность числа 365 не связана с календарем:
365 = 10 х 10+ 11 х 11 + 12 х 12,
то есть 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10-ти:
102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365.
Но и это еще не все – тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел – 13 и 14:
132 +142 = 169 + 196 = 365.
На этом свойстве числа 365 основана задача С.А. Рачинского, изображенная на известной картине «Трудная задача» Богданова-Вельского:
Таких чисел не много наберется в нашей галерее арифметических диковинок.
Три девятки
В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Получается шестизначное произведение: первые три цифры которого есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры – дополнения первых до 9. Например:
Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:
Зная эту особенность, мы можем «мгновенного» умножать любое трехзначное число на 999:
947 х 999 = 846153
509 х 999 = 508491
981 х 999 = 980019 и т. д.
А так как
999 = 9 х 111 = 3 x 3 x 3 x 37,
то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37; незнакомый со свойствами числа 999, конечно, сделать этого не в состоянии. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления».
Число Шехеразады
Следующим на очереди у нас 1001, прославленное число Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.
Чем же так замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых «простых»
873 х 1001 = 873873;
207 х 1001 = 207207 и т. д.
И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 х 1001 = 873 х 1000 + 873 = 878000 + 873, – все же, пользуясь указанным свойством числа Шехеразады, можно достичь результатов, совсем неожиданных, – по крайней мере, человеку неподготовленному.
Сейчас поясним в чем дело.
Товарищей, не посвященных в арифметические тайны, вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, секретно от вас трехзначное число, какое хочет, и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить секретно от вас это число на 7, при этом вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат передается новому соседу, который по вашему предложению делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы направляете следующему соседу, которого просите разделить это число на 13 – деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:
– Вот число, которое вы задумали!
– Так и есть: ты угадал.
Какова разгадка фокуса?
Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само – значит умножить его на 1001, т. е. на произведение 7 х 11 х 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13, а после деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение – 1001) должно снова дать первоначальное число.
Число 10101
После сказанного о числе 1001 для вас уже не будет неожиданностью увидеть в витринах нашей галереи число 10101. Вы догадаетесь, какому именно свойству число это обязано такою честью. Оно, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных, а двузначных чисел: каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:
73 х 10101 = 737373;
21 х 10101 = 212121.
Причина уясняется из следующей строки:
Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001?
Да, можно. Здесь возможно даже обставить фокус разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:
10101 = 3 х 7 х 13 x 37.
Предложив товарищу задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьему – приписать то же число еще раз. Четвертого вы просите разделить получившееся шестизначное число, например, на 7; пятый товарищ должен разделить полученное частное на 3; шестой делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, причем все четыре деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому товарищу: это – задуманное им число.