Большая книга занимательных наук
Шрифт:
Эта пирамида является следствием первых двух. Связь эта устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:
12345 x 9 + 6= 111111.
Умножив обе части на 8, имеем: (12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = 888888.
Но из второй пирамиды известно, что 12345 х 8 + 5 = 98765, или что 12345 х 8 = 98760.
Значит: 888888 = (12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = (98760 х 9) + 48 = (98760 х 9) + (5 х 9) + 3 = (98760 + 5) х 9 + 3 = 98765 х 9 + 3.
Вы убеждаетесь, что все эти числовые пирамиды не так уже загадочны, как кажутся с первого взгляда.
Девять
Конечная строка первой из только что рассмотренных «пирамид»
12345678 x 9 + 9= 111111111
представляет образчик целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:
12345679 × 9 = 111111111
12345679 × 18 = 222222222
12345679 × 27 = 333333333
12345679 × 36 = 444444444
12345679 × 45 = 555555555
12345679 × 54 = 666666666
12345679 × 63 = 777777777
12345679 × 72 = 888888888
12345679 × 81 = 999999999
Откуда такая закономерность в результатах?
Примем во внимание, что
12345678 х 9 + 9 = (12345678 + 1) х 9 = 12345679 х 9.
Поэтому 12345679 x 9= 111111111.
А отсюда прямо следует, что
12345679 х 9 х 2 = 222222222
12345679 х 9 х 3 = 333333333
12345679 х 9 х 4 = 444444444 и т. д.
Цифровая лестница
Любопытно, что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, – но какой именно?
Если вы обладаете способностью четко рисовать в воображении ряды цифр, вам удастся найти интересующий нас результат, даже не прибегая к выкладкам на бумаге. В сущности здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу – действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышлявшего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц. Вот результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится нигде прибегать к действию умножения):
Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны.
Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующие отделения, где показываются фокусы и выставлены числовые великаны и карлики; я хочу сказать: они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями мира чисел, приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.
Магические кольца
Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи?
Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом (рис. 1). На каждом кольце написаны шесть цифр в одном и том же порядке, именно – обозначено число: 142857. Кольца обладают следующим удивительным свойством: как бы ни были они повернуты, мы
Рис. 1. Вращающиеся числовые кольца
В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы получаем при сложении двух наружных колец:
т. е. опять тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись из конца в начало.
При другом расположении колец относительно друг друга (рис. 2) имеем такие случаи:
Рис. 2. Другое расположение колец
Исключение составляет случай, когда в результате получается 999999 (рис. 3):
(Причину других отступлений от указанного правила читатель поймет, когда дочитает эту статью до конца.)
Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах.
Например:
Рис. 3. Исключение составляет случай, когда в результате получается 999999
Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры; тогда, разумеется, разность равна нулю.
Но и это еще не все. Умножьте число 142857 на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите снова то же число, лишь передвинутое в круговом порядке на одну или несколько цифр:
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Чем же все загадочные особенности нашего числа обусловлены?
Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число 142857 не что иное, как седьмая часть 999999; и, следовательно, дробь
Действительно, если станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите: