Большая Советская Энциклопедия (ИН)

Большая Советская Энциклопедия

Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U (x ), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U₁ (x ) и U₂ (x ):

U (x ) = U₁ (x ) — U₂ (x ),

т.

е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции ).

Если интегрирующая функция U (х ) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U' (x ), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

В частности, когда U (x ) = х + С , интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х — пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть m — конечная мера, заданная на В. Для В– измеримой функции у = f (x ), х ^IХ , принимающей конечное или счётное число значений y₁ , y₂ , ..., y_n , ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A₁ , ..., А_n , ..., сумма которых есть X , интеграл функции f (x ) по мере m, обозначаемый

,

определяется как сумма ряда

в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.

Пусть А — измеримое множество и j_А (х ) = 1 для х , принадлежащих А , и j_А (х ) = 0 для х, не принадлежащих А . Тогда интеграл от f (x ) по множеству А определяют, полагая

При фиксированных m и А И. в зависимости от f может рассматриваться как линейный функционал ; при фиксированном f И., как функция множества А , есть счётно аддитивная функция.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки

задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.

Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f (x ), неограниченной в точке х = с , определил интеграл

,

когда a < c < b , как предел выражения

,

при e₁ ® 0 и e₂ ® 0. Аналогично И. с бесконечными пределами

определяется как предел И.

,

при а ® — yen и b ® + yen. Если при этом не требуется интегрируемости |f (x )|, т. е. f (x ) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.

Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).

Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.—Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега — Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. — Hdlb. — N. Y., 1969.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Интеграл вероятности

Интегра'л вероя'тности, название нескольких связанных друг с другом специальных функций. Интеграл

называют интегралом вероятности Гаусса. Для случайной величины X , имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией s² , вероятность неравенства |X| lb x равна F(х /s). Наряду с этим название И. в. употребляют для интегралов

Последнюю функцию обозначают обычно erf(x ) (от error function — «функция ошибок»).

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

Интегральная геометрия

Интегра'льная геоме'трия, раздел математики, в котором изучаются некоторые специальные числовые характеристики («меры») для множеств точек, прямых, плоскостей и др. геометрических объектов, вычисляемые, как правило, с помощью интегрирования. При этом «мера» должна удовлетворять требованиям: 1) аддитивности (мера множества , состоящего из нескольких частей, равна сумме мер этих частей), 2) инвариантности относительно движений (два множества, отличающиеся только положением, имеют одинаковые меры). К И. г. относятся прежде всего задачи нахождения длин, площадей и объёмов, решаемые посредством интегрирования (соответственного простого, двойного и тройного).