Большая Советская Энциклопедия (ИН), Большая Советская Энциклопедия (БСЭ)

Большая Советская Энциклопедия (ИН)

на обложку

Большая Советская Энциклопедия

Шрифт:

В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v (x1 ) изображения или «точного» фотографического изображения [v (x ) = ku (x ), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u (x ) — v (x ) = f (x )],

приходят к различным И. у. относительно функции u (x ):

Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида

линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,—уравнение вида

[при f (x ) o 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром l:

Во всех уравнениях функция

— так называемое ядро И. у. — известна, так же, как функция f (x ) (а lb х lb b ); искомой является функция u (x ) (а lb х lb b ).

Функции K (x, y ), f (x ), u (x ) и параметр уравнения l могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K (x , y ) обращается в нуль при у > х , получается уравнение Вольтерра:

И. у. называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K (x , y ) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а lb х lb b, а lb y lb b или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение

Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида

или

Линейные И. у. 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u (x ) получается в виде ряда по степеням l (сходящегося в некотором круге |l|<K ) с коэффициентами, зависящими от х (метод

Вольтерра — Неймана); 2) решение u (x ), при тех значениях l, при которых оно вообще существует, выражается через некоторые целые функции от l (метод Фредгольма); 3) в случае, когда ядро симметрично, т. е. К (х , y ) o К (у , x ), решение u (x ) выражается в виде ряда по ортогональным функциям uк (х ), являющимся ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения

(последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра l = lк , k = 1, 2, ...) (метод Гильберта — Шмидта); 4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью Лапласа преобразования ; 5) в случае, когда

(так называемое вырожденное ядро), отыскание u (х ) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к

какую-либо формулу численного интегрирования, либо заменив данное ядро К (х , y ) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К (х , у ). К И. у. часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962.

Д. А. Васильков.

Интегральный логарифм

Интегра'льный логари'фм, специальная функция, определяемая интегралом

Этот интеграл не выражается в конечной форме через элементарные функции. Если х > 1, то интеграл понимается в смысле главного значения:

И. л. введён в математический анализ Л. Эйлером в 1768. И. л. li(x ) связан с интегральной показательной функцией Ei(x ) соотношением li(x ) = Ei(lnx ). Для больших положительных х функция li(x ) растет как x / lnx. И. л. играет важную роль в аналитической теории чисел, так как число простых чисел, не превосходящих х, приблизительно равно li(x ).