Большая Советская Энциклопедия (СО)

Большая Советская Энциклопедия

Сопряжённые дифференциальные уравнения

Сопряжённые дифференциа'льные уравне'ния, понятие теории дифференциальных уравнений. Уравнением, сопряжённым с дифференциальным уравнением

, (1)

называется уравнение

, (2)

Соотношение сопряженности взаимно. Для С. д. у. имеет место тождество

,

где y (у, z) —

билинейная форма относительно у, z и их производных до (n - 1)-го порядка включительно. Знание k интегралов сопряжённого уравнения позволяет понизить на k единиц порядок данного уравнения. Если

y₁, у₂,... у_n (3)

— фундаментальная система решений уравнения (1), то фундаментальная система решений уравнения (2) даётся формулами

 

,

где D — определитель Вроньского (см. Вронскиан) системы (3). Если для уравнения (1) заданы краевые условия, то существуют сопряжённые с ними краевые условия для уравнения (2) такие, что уравнения (1) и (2) с соответствующими краевыми условиями определяют сопряжённые дифференциальные операторы (см. Сопряжённые операторы). Понятие сопряженности обобщается также на системы дифференциальных уравнений и на уравнения с частными производными.

Сопряжённые операторы

Сопряжённые опера'торы, понятие операторов теории. Два ограниченных линейных оператора Т и Т* в гильбертовом пространстве называются сопряжёнными, если для всех векторов х и у из Н справедливо соотношение (Tx, у) =(х, Т*у). Например, если

,

то оператору

сопряжён оператор

,

где

— функция, комплексно сопряжённая с К (х, у). Если оператор Т не ограничен и его область определения D_mвсюду плотна (см. Плотные и неплотные множества), то С. о. определяется на множестве тех векторов у, для которых можно найти такой вектор у*, что равенство (Tx, у) = (х, у*) справедливо для всех х ^I D_m, при этом полагают Т*у = у*. Понятие сопряженности обобщается также на операторы в др. пространствах.

Сопряжённые реакции

Сопряжённые реа'кции, такие реакции химические, которые протекают только совместно и при наличии хотя бы одного общего реагента. Реакция (А + В ® продукты), индуцирующая (вызывающая)

прохождение др. реакции, называется первичной, а индуцируемая ею, или сопряжённая ей (А + С ® продукты), — вторичной. Реагент А, участвующий в обеих реакциях, называется актором, реагент В, взаимодействие которого с А индуцирует вторичную реакцию, — индуктором, а реагент С — акцептором. Индукторы в С. р., в отличие от катализаторов (в каталитических реакциях), расходуются.

Примером С. р. может служить совместное окисление окиси углерода и водорода: 2H₂ + O₂ = 2H₂O и 2CO + О₂ = 2CO₂. Вторая реакция в отсутствие водорода не идёт до очень высоких температур, при добавлении же в систему H₂ она становится легко осуществимой. В качестве количественной характеристики для С. р. используют фактор индукции I, равный отношению количеств прореагировавших акцептора и индуктора, выраженных в молях (грамм-молекулах) или грамм-эквивалентах; в данном примере

.

Основные черты механизма и кинетических особенностей С. р. были установлены при исследовании окислительных реакций в растворах Н. А. Шиловым. В основе явления сопряжения реакций, или химической индукции, лежит образование промежуточных веществ, возникающих при первичной реакции и осуществляющих перенос индуктивного влияния первичной реакции на вторичную. Как правило, С. р. относятся к цепным реакциям — вслед за образованием под действием индуктора первичного радикала развивается цепь превращений молекул акцептора уже без участия молекул индуктора. Во многих случаях С. р. близки к автокаталитическим реакциям (см. Автокатализ).

Лит. см. при ст. Кинетика химическая.

Сопряжённые точки

Сопряжённые то'чки в оптике, пары точек, в каждой из которых одна является по отношению к оптической системе объектом, вторая — его изображением; при этом согласно обратимости теоремеобъект и изображение могут взаимно меняться местами. Понятие С. т. вполне строго применимо лишь к идеальным (безаберрационным) оптическим системам в их параксиальных областях (см. Параксиальный пучок лучей). Для реальных систем оно представляет собой широко используемое приближение.

Сопряжённые функции

Сопряжённые фу'нкции, функции u (х, у), u(x, у) двух переменных х и у, связанные в некоторой области D условиями Коши — Римана (см. Коши—Римана уравнения);

;

.

При определённых условиях, например при непрерывности частных производных первого порядка, С. ф. u и u являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f (x +iy). Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа

,