Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха
Шрифт:
Тьюринг поднял на дядю удивленные глаза.
– Разве вы никогда не слышали об этой статье, профессор?
Петрос улыбнулся:
– Дорогой мой, математика тоже заражена этой современной чумой – сверхспециализацией. Боюсь, что понятия не имею о современных достижениях формальной логики, да и других областей математики, если на то пошло. Увы, за пределами теории чисел я полный профан.
– Но, профессор, – возразил Тьюринг, – теорема Гёделя интересна всем математикам, а специалистам по теории чисел – особенно! Ее первые приложения относились
К полному изумлению Тьюринга, Петрос и об аксиомах Пеано-Дедекинда имел довольно смутное представление. Как и любой работающий математик, он считал формальную логику – дисциплину, основным предметом которой является сама математика, – занятием с явно раздутой репутацией, если вообще не бесполезным. Бесконечные попытки строгих обоснований и пересмотра основных принципов он воспринимал как пустую трату времени. Его отношение к этим вопросам лучше всего иллюстрировала народная мудрость «не чини то, что не сломано». Дело математика – доказывать теоремы, а не постоянно жевать мысли о состоянии их невысказанных и не подвергаемых сомнению основ.
Но горячность, с которой говорил молодой посетитель, возбудила любопытство дяди Петроса.
– А что такое доказал этот юный мистер Гёдель, что представляет интерес для теории чисел?
– Он решил проблему полноты, – доложил Тьюринг с горящими глазами.
Петрос улыбнулся. Проблема полноты – не что иное, как стремление формально доказать, что все истинные утверждения в конце концов доказуемы.
– Это хорошо, – вежливо согласился Петрос. – Я вам должен сказать тем не менее – никак не желая оскорбить мистера Гёделя, конечно, – что для работающего ученого полнота математики всегда была очевидной. Все же приятно знать, что кто-то наконец сел и ее доказал.
Но Тьюринг уже неистово мотал головой, и лицо его раскраснелось от возбуждения.
– Вот в том-то и дело, профессор Папахристос! Гёдель ее не доказал!
Петрос не понял.
– Извините, мистер Тьюринг… Вы только что сами сказали, что этот молодой человек решил проблему полноты? Я ведь не ослышался?
– Да, профессор, но вопреки ожиданиям всех – в том числе Гильберта и Рассела – он ее решил в отрицательном смысле! Он доказал, что арифметика и все математические теории не полны!
Петрос не настолько был знаком с концепциями формальной логики, чтобы сразу оценить все вытекающие следствия.
– Простите?
Тьюринг опустился на колени рядом с креслом Петроса и стал тыкать пальцами в хитросплетения символов в статье Гёделя.
– Вот: этот гений доказал – окончательно доказал! – что какие бы аксиомы ни принять, теория чисел с необходимостью будет содержать недоказуемые предложения!
– То есть, вы хотите сказать, ложные предложения?
– Нет, я хочу сказать – истинные предложения; истинные, но такие, которые невозможно доказать!
Петрос вскочил на ноги.
– Это невозможно!
– Но это так, и доказательство тому здесь, на этих
У моего дяди внезапно закружилась голова.
– Но этого… этого не может быть!
Он принялся лихорадочно листать журнал, пытаясь сразу постигнуть изощренные рассуждения статьи, и бормотал про себя, начисто забыв о молодом человеке:
– Мерзость… аномалия… извращение… Тьюринг довольно улыбнулся.
– Все математики поначалу так реагируют. Но Рассел и Уайтхед проанализировали доказательство Гёделя и объявили его безупречным. На самом деле они употребили слово «совершенство».
– «Совершенство»? – скривился Петрос. – Но если он это доказал – то есть действительно доказал, во что я отказываюсь верить, то это – конец математики!
Много часов Петрос пропотел над кратким, но донельзя насыщенным текстом. Он переводил, а Тьюринг объяснял незнакомые ему концепции формальной логики, лежащие в основе рассуждений Гёделя. Закончив перевод, они снова начали сначала, разбирая доказательство шаг за шагом. Петрос отчаянно искал погрешность в рассуждениях.
Это стало началом конца.
Было уже за полночь, когда Тьюринг ушел. Петрос не мог заснуть. Первое, что он сделал утром – пошел к Литлвуду. К его величайшему удивлению, тот уже знал теорему Гёделя о неполноте.
– И как же вы могли ни разу о ней не сказать? – спросил его Петрос. – Как вы можете знать о существовании чего-то подобного и быть таким спокойным?
Литлвуд не понял.
– А чего вы так расстроились, старина? Гёдель изучает некоторые весьма специальные случаи, он ищет парадоксы, очевидно, присущие всем аксиоматическим системам. Какое до этого дело нам, окопным солдатам математики?
Но Петроса нельзя было так легко успокоить.
– Как вы не понимаете, Литлвуд? Отныне, встречаясь с каждым до сих пор не доказанным утверждением, мы должны будем спрашивать себя, а не является ли оно случаем применимости теоремы Гёделя. Ведь любая нерешенная проблема, любая недоказанная гипотеза могут быть априори нерешаемы и недоказуемы! Слова Гильберта «В математике нет ignorabimus» более не применимы. Саму почву, на которой мы стояли, вышибли у нас из-под ног! Литлвуд пожал плечами.
– Не вижу смысла расстраиваться из-за парочки недоказуемых истин, если есть миллионы доказуемых, с которыми можно работать.
– Да, черт побери, но как узнать, кто из них кто?
Хотя реакция Литлвуда должна была бы успокоить – нота оптимизма после катастрофы вчерашнего вечера, – она не дала Петросу ответа на единственный, отравляющий, пугающий вопрос, который возник сразу, как он услышал о результате Гёделя. Вопрос этот был так ужасен, что дядя еле отваживался его сформулировать: что, если теорема Гёделя о неполноте применима к его задаче? Что, если утверждение проблемы Гольдбаха недоказуемо?