Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

F_t = -2mwv_r. (34.19) Кроме того, там действует кажущаяся радиальная сила

F_r=mw²r+2mwv_t, (34.20)

где v_t — тангенциальная компонента скорости, измеряемая во вращающейся системе отсчета. (Радиальная компонента v_{rодна и та же как для вращающихся,}

так и для инерциальных систем.)

Теперь для достаточно малых угловых скоростей (т. е. когда (wr<<v_t) первым (центробежным) слагаемым в уравнении (34.20) можно пренебречь по сравнению со вторым (кориолисовым). После этого уравнения (34.19) и (34.20) можно записать вместе как

F=-(2mwXv). (34.21)

Если же теперь скомбинировать вращение и магнитное поле, то мы должны к силе (34.18) добавить силу (34.21). Полная сила получится такой:

F(r)+qvXB+2mvXw. (34.22)

[В последнем слагаемом по сравнению с (34.21) мы переставили сомножители в векторном произведении и изменили знак.] Взглянув теперь на полученный результат, мы видим, что если

2mw=-qB,

то последние два члена сократятся, и единственной силой в дви­жущейся системе будет сила F(r). Движение электрона будет таким же, как и в отсутствие магнитного поля, но добавится, разумеется, вращение. Мы доказали теорему Лармора для одного электрона. Поскольку при доказательстве мы предполагали со малым, то это означает, что теорема верна только для слабых магнитных полей. Единственно, что я прошу вас рассмотреть самостоятельно,— это случай многих электронов, взаимодей­ствующих друг с другом в том же самом центральном поле. Дока­жите теорему для такого случая. Таким образом, каким бы сложным ни был атом, если его поле центральное,— теорема будет верна. Но это уже конец классической механики, ибо то, что система прецессирует таким образом, неверно. Частота пре­цессии w_p в уравнении (34.11) только тогда равна w_L., когда g=1.

§ 6. В классической физике пет ни диамагнетизма, ни парамагнетизма

Сейчас я хочу показать вам, что в соответствии с классиче­ской механикой не получается ни диамагнетизма, ни парамагне­тизма. На первый взгляд это звучит дико — ведь только что мы доказали, что там есть и диамагнетизм, и парамагнетизм, и прецессирующие орбиты и т. п., а теперь собираемся доказывать, что все это ложь. Увы, так оно и есть! Я собираюсь доказать, что если достаточно долго следовать за классической механи­кой, то никаких магнитных эффектов не получится: они исчезнут все до единого. Если вы начнете с классических рассуждений, но вовремя остановитесь, то получите желаемый результат. И только законные и последовательные доказательства показы­вают, что никаких магнитных эффектов нет.

Вот одно из следствий классической механики. Если у вас есть какая-то заключенная в ящик система, скажем электронный или протонный газ или что-то в этом роде, не способная вращать­ся как нечто целое, то никакого магнитного эффекта возник­нуть не может. Магнитный эффект может получиться лишь при наличии изолированной системы, удерживаемой от разлетания своими собственными силами подобно звезде, которая, будучи помещена в магнитное поле, может начать вращаться. Но если ваш кусок материала удерживается в одном положении и не может начать крутиться, то никакого магнитного эффекта не будет. Более точно мы понимаем под этим следующее: мы пред­полагаем, что при данной температуре существует только одно состояние теплового равновесия. Тогда теорема утверждает, что если вы включите магнитное поле и выждете, пока система не придет в тепловое равновесие, то никакого наведенного маг­нитного эффекта не появится — ни диамагнетизма, ни пара­магнетизма. Доказательство: Согласно статистической меха­нике, вероятность того, что система имеет заданное состояние движения, пропорциональна e^{– U/kT}, где U — энергия этого движения. Но что такое энергия движения? Для частиц в по­стоянном магнитном поле она равна обычной потенциальной энергии плюс mv²/2 без какой бы то ни было добавки от маг­нитного поля. [Вы знаете, что сила, действующая со стороны электромагнитного поля, равна q(E+vXB), а мощность F·v будет просто qE·v, т. е. никакого влияния магнитного поля нет и в помине.] Итак, энергия системы независимо от того, находится ли она в магнитном поле или нет, всегда будет суммой только кинетической и потенциальной энергий. А поскольку вероятность любого движения зависит только от энергии, т. е. от скорости и положения, то для нее безразлично, включено ли магнитное поле или нет.

Следовательно, на тепловое равновесие магнитное поле не оказывает никакого влияния. Если мы возь­мем сначала одну систему, заключенную в первом ящике, а затем другую — во втором ящике, но на этот раз в магнитном поле, то вероятность какого-то определенного значения ско­рости в некоторой точке в первом ящике будет той же самой, что и во втором. Если в первом ящике отсутствуют средние цир­кулирующие токи (которых не должно быть, если система нахо­дится в равновесии со стационарными стенками), то там нет никакого магнитного момента. А поскольку все движения во втором ящике такие же, как и в первом, у него тоже нет ника­кого магнитного момента. Следовательно, если температура поддерживается постоянной, то после включения поля и вос­становления теплового равновесия никакого наведенного маг­нитного момента в соответствии с классической механикой быть не должно. Удовлетворительное объяснение магнитных явле­ний можно получить только в квантовой механике.

К сожалению, я не уверен в вашем полном понимании кван­товой механики, поэтому обсуждать эти вопросы здесь вряд ли уместно. Но, с другой стороны, не всегда следует начинать изу­чение чего-то с выписывания правил и применения их в различ­ных обстоятельствах. Почти каждый предмет, с которым мы имели дело в нашем курсе, начинался по-разному. Для электро­динамики, например, мы на первой же странице выписали урав­нения Максвелла, а уж затем выводили из них все следствия. Это один способ. Однако сейчас я не собираюсь начать новую «первую страницу» выписыванием уравнений квантовой меха­ники и получением следствий из них. Я просто расскажу вам о некоторых результатах квантовой механики до того еще, как вы узнали, откуда они берутся. Итак, за дело.

§ 7. Момент количества движения в квантовой механике

Я уже приводил вам соотношение между магнитным момен­том и моментом количества движения. Очень хорошо. Но что означает магнитный момент и момент количества движения в Квантовой механике? Оказывается, что для полной уверенности в том, что они означают в квантовой механике, лучше опреде­лять вещи, подобные магнитному моменту, через другие понятия, такие, как энергия. Магнитный момент легко определить через энергию, ибо энергия магнитного момента в магнитном поле равна в классической теории—m·В. Следовательно, в кван­товой механике необходимо принять следующее определение. Если мы вычисляем энергию системы в магнитном поле и видим, что она пропорциональна напряженности (для малых полей), то коэффициент пропорциональности мы будем называть маг­нитным моментом в направлении поля. (Нам сейчас в нашей работе не требуется особой элегантности и мы можем продол­жать думать о магнитном моменте в обычном, т. е. в каком-то отношении классическом смысле.)

Теперь мне бы хотелось обсудить понятие момента количе­ства движения в квантовой механике, или, вернее, характери­стики того, что в квантовой механике называется моментом количества движения. Видите ли, при переходе к законам но­вого рода нельзя предполагать, что каждое слово будет в точ­ности означать то же, что и раньше. Подумав, вы можете ска­зать: «Постойте, а ведь я знаю, что такое момент количества движения. Это штука, которую измеряет момент силы». Но что такое момент силы? В квантовой механике у нас должно быть новое определение старых величин. Поэтому законно было бы назвать ее каким-то другим именем, вроде «углоквантового мо­мента», или чем-то в этом духе, и уж это был бы момент количе­ства движения «по-квантовомеханически». Однако если в кван­товой механике мы можем найти величину, которая, когда си­стема становится достаточно большой, идентична нашему ста­рому понятию момента количества движения, то никакой пользы от изобретения новых слов нет. Ее тоже можно называть момен­том количества движения. В этом понимании та странная вещь, которую мы собираемся описать, и есть момент количества движения. Это характеристика, в которой мы для больших систем узнаем момент количества движения классической механики.

Прежде всего возьмем систему с сохраняющимся моментом количества движения наподобие атома в пустом пространстве. Такая система (подобно Земле, вращающейся вокруг собствен­ной оси) может крутиться вокруг любой оси, какую бы нам ни вздумалось выбрать. Для данной величины спина возможно много различных «состояний» с одной и той же энергией, при­чем каждое из них соответствует какому-то направлению оси момента количества движения. Таким образом, в классической механике с данным моментом количества движения связано бесконечное число возможных состояний с одной и той же энер­гией.

Однако в квантовой механике, как оказывается, происходит несколько странных вещей. Во-первых, число состояний, в ко­торых может находиться, такая система, ограниченно — их можно перечислить. Для маленькой системы это число довольно мало, но если система велика, конечное число становится очень и очень большим. Во-вторых, мы не можем описывать «состоя­ния» заданием направления момента количества движения, а можем только задавать его компоненту в некотором направлении, скажем в направлении оси z. Классически объект с данным пол­ным моментом количества движения J может в качестве z-компоненты иметь любую величину между -J и +J. Но в кванто­вой механике z-компонента момента количества движения может принимать только определенные дискретные значения. Любая данная система, в частности атом или ядро или что-то другое, с заданной энергией имеет характерное число j, а ее z-компо­нента момента количества движения может принимать только одно из значений: