Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

Число же атомов в единице объема со спином, направленным вверх, равно

а со спином, направленным вниз,

Постоянная а должна определяться из условия

N_вверх+N_вниз=N (35.17)

т.е. равна полному числу атомов в единице объема. Таким образом, мы получаем

Однако нас интересует средний магнитный момент в на­правлении оси z. Каждый атом со спином, направленным

вверх, дает в этот момент вклад, равный -m₀, а со спином, направленным вниз, + m₀, так что средний момент будет

Тогда М — магнитный момент единицы объема — будет равен N<m>_ср. Воспользовавшись выражениями (35.15)—(35.17), по­лучим

Это и есть квантовомеханическая формула для М в случае атомов со спином j=¹/₂. К счастью, ее можно записать более коротко через гиперболический тангенс:

График зависимости М он В приведен на фиг. 35.7.

Фиг. 35.7. Изменение намаг­ниченности парамагнетика при изменении напряженности магнитного поля В.

Когда поле В становится очень большим, гиперболический тангенс приближается к единице, а М — к своему предельному зна­чению Nm₀. Таким образом, при сильных полях происходит насыщение. Нетрудно понять, почему так получается — ведь при достаточно больших полях все магнитные моменты выстраи­ваются в одном и том же направлении. Другими словами, при насыщении все атомы находятся в состоянии со спинами, направленными вниз, и каждый из них дает вклад в магнитный момент, равный m₀.

Обычно при комнатной температуре и полях, которые можно получить (порядка 10000 гс), отношение m₀B/kT равно при­близительно 0,02. Чтобы наблюдать насыщение, необходимо спуститься до очень низких температур. Для комнатной и более высоких температур обычно можно thx заменить на x и написать

Точно так же, как и в классической теории, намагничен­ность М оказывается пропорциональной полю В. Даже формула оказывается той же самой, за исключением того, что в ней, по-видимому, где-то потерян множитель ¹/₃. Но нам еще нужно связать m₀в квантовомеханической формуле с величиной m, которая появилась в классическом результате, в выражении (35.9).

В классической формуле у нас появилось m²=m·m — квадрат вектора магнитного момента, или

В предыдущей главе я уже говорил, что очень часто правильный ответ можно получить из классических вычислений с заменой J·J на j(j+1)h². В нашем частном примере j=¹/₂, так что

j(j+1)h²=³/₄h².

Подставляя этот результат вместо J·J в (35.23), получаем

или, вводя величину m₀, определенную соотношением (35.12), получаем

m·m=3m²₀.

Подставляя это вместо m² в классическое выражение (35.9),

мы действительно воспроизведем истинный квантовомеханический результат — формулу (35.22).

Квантовая теория парамагнетизма легко распространяется на атомы с любым спином j. При этом для намагниченности в слабом поле получим

где

представляет комбинацию постоянных с размерностью магнит­ного момента. Моменты большинства атомов приблизительно равны этой величине. Она называется магнетоном Бора. Спи­новый магнитный момент электрона почти в точности равен

§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничиванием

Парамагнетизм имеет одно весьма интересное применение. При очень низкой температуре и в сильном магнитном поле атомные магнитики выстраиваются. При этом с помощью про­цесса, называемого адиабатическим размагничиванием, можно получить самые низкие температуры. Возьмем какую-то пара­магнитную соль, содержащую некоторое число редкоземель­ных атомов (например, аммиачный нитрат празеодима), и начнем охлаждать ее жидким гелием до 1—2° К в сильном магнитном поле. Тогда показатель mВ/kT будет больше единицы, скажем 2 или 3. Большинство спинов направлено вверх, и намагни­ченность почти достигает насыщения. Для облегчения давайте считать, что поле настолько велико, а температура так низка, что все атомы смотрят в одном направлении. Теплоизолируйте затем соль (удалив, например, жидкий гелий и создав вакуум) и выключите магнитное поле. При этом температура соли падает.

Если бы это поле вы выключили внезапно, то раскачивание и сотрясение атомов кристаллической решетки постепенно перепутало бы все спины. Некоторые из них остались бы на­правленными вверх, а другие повернулись бы вниз. Если ника­кого поля нет (и если не учитывать взаимодействия между атом­ными магнитами, которое привносит только небольшую ошибку), то на переворачивание магнитиков энергии не потребуется. Поэтому случайное распределение спинов установится без какого-либо изменения температуры.

Предположим, однако, что в то время как спины перевора­чиваются, магнитное поле еще не вполне исчезло. Тогда для переворачивания спинов против поля требуется некоторая работа, она должна затрачиваться на преодоление поля. Этот процесс отбирает энергию у теплового движения и понижает температуру. Таким образом, если сильное магнитное поле выключается не слишком быстро, температура соли будет уменьшаться. Размагничиваясь, она охлаждается. С точки зрения квантовой механики, когда поле сильно, все атомы находятся в наинизшем состоянии, так как слишком много шансов против того, чтобы они находились в высшем состоянии. Но как только напряженность поля понижается, тепловые флуктуации со все большей и большей вероятностью будут «выталкивать» атомы на высшее состояние, и когда это происходит, атом поглощает энергию DU=m₀B. Таким образом, если магнитное поле выключается медленно, магнитные переходы могут отбирать энергию у тепловых колебаний кристалла, тем самым охлаждая его. Таким способом можно понизить температуру от нескольких градусов до температуры в несколько тысячных долей градуса от абсолютного нуля.

А если нам захочется охладить что-то еще сильнее? Оказы­вается, что здесь природа тоже была очень предусмотрительной. Я уже упоминал, что магнитные моменты есть и у атомных ядер. Наши формулы для парамагнетизма работают и в случае ядер, только надо иметь в виду, что моменты ядер приблизительно в тысячу раз меньше. (По порядку величины они равны qh/2m_p, где m_p — масса протона, так что они меньше в число раз, равное отношению масс протона и электрона.) Для таких магнитных моментов даже при температуре 2° К показатель mB/kT со­ставляет всего несколько тысячных. Но если мы используем парамагнитное размагничивание и достигнем температуры не­скольких тысячных градуса, то mB/kT становится порядка единицы; при столь низких температурах мы уже можем гово­рить о насыщении ядерного магнетизма. Это очень кстати, ибо теперь, воспользовавшись адиабатическим размагничиванием системы магнитных ядер, можно достичь еще более низких температур. Таким образом, в магнитном охлаждении возмож­ны две стадии. Сначала мы используем диамагнитное размагни­чивание парамагнитных ионов и спускаемся до нескольких тысячных долей градуса. Затем мы применяем холодную пара­магнитную соль для охлаждения некоторых материалов, обла­дающих сильным ядерным магнетизмом. И, наконец, когда мы выключаем магнитное поле, температура материалов дохо­дит до миллионных долей градуса от абсолютного нуля, если, конечно, все было проделано достаточно тщательно.