Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

d

dt

(a^3)

=-

3pa^2

da

dt

.

(12.5.4)

Если p=0, то количество вещества внутри сферы не меняется;

4

3

R^3

=

M

(12.5.5)

есть постоянная величина. Мы можем решить эти уравнения для того, чтобы получить

(k+R^2)

=

2G

M

R

.

(12.5.6)

Рис. 12.2.

Это дифференциальное уравнение может быть решено для того, чтобы найти функцию R(t). Поведение возможных решений легко понять, оставаясь всё ещё в пределах ньютоновской механики. То, что может происходить,

могло бы быть легко рассмотрено на языке того, что может происходить с оболочкой толщины da вне сферически симметричного распределения m (см. рис. 12.2). Может быть рассмотрено, каким образом происходит свободное падение в поле массы, находящейся внутри, которая есть постоянная величина, и это движение описывается уравнением свободного падения тела. Закон сохранения энергии говорил бы нам в ньютоновской механике, что

–

Gm

a

+

a^2

2

=

постоянная

=

Энергия/Масса.

(12.5.7)

В зависимости от величины этой энергии, возможны три типа решений.

Если энергия положительна, то оболочка продолжает расширение вечно и сохраняет расширение бесконечное время.

Если энергия равна нулю, то оболочка расширяется асимптотически к статической вселенной бесконечного разжижения.

Если энергия отрицательна, то движение ограничено и циклично.

Эти решения ньютоновской задачи соответствуют возможным типам вселенной; 1) соответствует открытой вселенной с отрицательной кривизной; 3) соответствует замкнутой вселенной с положительной кривизной.

Почему эти ньютоновские решения оказались достаточно хорошими для того, чтобы охарактеризовать ответы на наши вопросы? Это происходит потому, что в сферически симметричной задаче движение конечной оболочки вещества определяется только массой, находящейся внутри. Масса, находящаяся вне, образует внутри пространство, эквивалентное плоскому. Таким образом, рассматривая движение конечной оболочки, мы получаем описание поведения всей вселенной. Здесь мы снова видим мощь предположения о космологической однородности.

Лекция 13

13.1 О роли плотности вселенной в космологии

Теперь мы увидели, как постулат об однородности приводит к различным возможностям вселенной, которая может быть как открытой, так и закрытой. Мы видим, что один из наиболее интересных космологических вопросов состоит в том, является ли наша вселенная неограниченной и расширяющейся вечно или она ограничена. Мы рассчитываем ответить на этот вопрос на основе наблюдений. Какие же есть факторы, относящиеся к этой проблеме? Центральный вопрос есть следующий: являются ли скорости галактик достаточно большими, чтобы они неограниченно разбегались, или эти скорости настолько малы, что движение финитное? Давайте сделаем некоторые оценки на основе ньютоновской механики, которые достаточно близки к релятивистским оценкам для нашей задачи. Если радиальная скорость оболочки с радиусом r пропорциональна величине r, достаточно ли кинетической энергии для неограниченного разбегания? Из-за сферической симметрии мы, при выписывании закона сохранения энергии, рассматриваем только массу, находящуюся внутри оболочки. Если мы предполагаем однородную плотность во вселенной, то критическое значение для чисто финитной и чисто инфинитной вселенной есть условие, что

1

2

v^2

GM

r

, где

M

=

4

3

r^3

.

(13.1.1)

Мы можем произвести это вычисление для какого бы то ни было любого значения r. Теперь мы положим v=r/T где T есть хаббловское время, одна из тех величин, которые мы должны определить. Критическое значение может быть тогда выражено через значение плотности

=

3

8

1

GT^2

(13.1.2)

Если мы принимаем нынешнее значение хаббловского времени T=13x10 лет, мы вычисляем критическую среднюю плотность, которая оказывается равной =1·10^2 г/см^3. Мы не будем знать, является ли вселенная финитной или инфинитной до тех пор, пока мы не измерим среднюю плотность с достаточной точностью для того, чтобы иметь обоснованное сравнение с критическим значением.

К сожалению, измерения плотности вселенной являются предельно трудными и предельно неопределёнными, произвести их намного труднее, чем измерения постоянной Хаббла, которая сама может иметь существенную неопределённость. Как уже упоминалось, всего-навсего несколько лет назад возраст вселенной Т считался меньшим примерно в 2.4 раза. Для получения исправленной оценки возраста вселенной было затрачено существенно больше усилий, чем для получения первоначальной оценки, так что исправленная оценка может быть более надёжной, тем не менее, не является невообразимым, что нынешнее значение может быть вновь изменено на аналогичный множитель. Как обычно, конечный результат является очень чувствительным к величине, которая измеряется для многих сложных случаев измерения, а именно, тех галактик, которые находятся на пределе чувствительности наших телескопов. Соответствующие расстояния оцениваются на основе анализа яркости скоплений вместо того, чтобы делать это на основе анализа яркости галактик, и нет гарантии, что такие наблюдаемые скопления

являются типичными в рассматриваемой нами области и что они по своей интенсивности сопоставимы со скоплениями, близкими к нам. Таким образом, конечные оценки T оказываются случайными в зависимости от правильности длинной цепочки предположений, каждое из которых вносит существенный вклад в возможную ошибку в конечном результате. Какова же ситуация, связанная с оценками средней плотности? Если мы считаем галактики и предполагаем, что они более и менее такие же, как ближайшие к нам галактики, полная плотность такого рода видимого вещества около 10^3^1 г/см^3. Эта величина представляет некоторого рода нижний предел на плотность вещества, так как видимое вещество должно быть некоторой частью полной плотности вещества. Плотность вещества в межгалактических областях оценивается по измерениям интенсивности различных узких спектральных линий, как функция расстояния до источника. Предположительно, поглощение излучения в таких линиях есть мера количества атомов заданного типа в области между излучателем и наблюдателем. Имеется огромное число предположений и поправок, которые должны быть сделаны для того, чтобы привести полученные данные к численной оценке, так что также не ожидается, что конечный результат будет определённым, за исключением возможно оценки по порядку величины. Измерения по количеству натрия явились достаточно успешными, но ключевой величиной при таких измерениях является количество водорода, которое предположительно получается из наблюдений поглощения в линии водорода 21 см. Радиоастрономы работают над такими измерениями; их результаты, полученные к настоящему времени, указывают на то, что видимое вещество составляет на самом деле лишь очень небольшую часть полной плотности вещества. Критическая величина плотности =1·10^2 г/см^3 всегда находится в пределах диапазона любой оценки, тем не менее, эти данные являются достаточно грязными, так что если в теории потребуется плотность настолько высокая как =1·10^2 г/см^3, то наблюдения не могли бы исключить такую величину, теория не могла бы быть опровергнута на основе того, что плотность, предсказываемая такой теорией, оказывается слишком высокой.

В этом месте я хотел бы сделать замечание о нынешнем состоянии наблюдений, относящихся к космологии. Когда физик читает статью типичного астронома, то он обнаруживает необычный стиль при работе с неопределённостями и ошибками. Хотя работы, в которых приводятся вычисления и измерения, очень часто бывают аккуратны при перечислении и обсуждении источников ошибки и даже при оценивании степени согласия, с которой мы могли бы сделать определённые ключевые предположения, когда возникает время для оценивания такой величины, как хаббловский возраст вселенной, то физик не находит оценку полной неопределённости, например, в виде обычной оценки ±T, используемой физиками. Такие авторы, очевидно, не имеют намерения в точности установить вероятность, соответствующую тому, что их величина оказывается правильной, хотя они очень тщательно приводят многие источники ошибок, и хотя совершенно ясно, что эта ошибка составляет существенную часть этой величины. Беда заключается в том, что часто другие космологи или астрофизики берут это число без относительно возможной ошибки, рассматривая его как астрономическое наблюдение, являющееся настолько точным, как и период планеты. Например, подобная беда имеет место при работе с космологическими моделями, где все модели предсказывают красное смещение с практически линейной зависимостью от расстояния. Только ускорение далёких галактик есть та величина, с помощью которой различия между космологическими моделями становятся существенными. Оказывается, что если ускорение выражается как параметр q который, как показывают наблюдения и вычисления, должен быть, например,

RR

R^2

=

q

=

1.2

,

(13.1.3)

то это число оказывается непригодным для того, чтобы сравнивать его с предсказаниями теории. Даже если модель Хойла должна предсказывать q=-0.5, Хойл мог бы быть всё-таки прав потому, что ускорение может иметь гигантские ошибки, например 1.2±5.0. Тем не менее, это именно то место, где некоторые авторы сбиваются с пути, работая с величинами без указания их ошибок, как будто это величины известны предельно точно. Когда-нибудь, конечно, ошибки могут быть много меньше, так как гигантские усилия предпринимаются многими астрономами для того, чтобы получить всё более точные величины.

Развязка всего этого состоит в том, что критическая плотность является наилучшей плотностью, для использования в космологических задачах. Этот факт имеет огромное множество очень приятных свойств, например, эта плотность, при которой создание вещества в центре вселенной (который находится всюду, согласно принципу космологической однородности) ничего не стоит. Если плотность вещества есть , тогда мы знаем, что пространство имеет положительную кривизну, обусловленную непосредственно плотностью вещества. С другой стороны, трехмерное пространство в эквивалентные моменты собственного времени при эволюции галактики имеет отрицательную кривизну; критическая плотность уравновешивает величину кривизны таким образом, чтобы сделать трёхмерное пространство плоским. Критическая плотность также разделяет случай вселенной с конечным числом галактик от вселенной с бесконечным их числом. С учётом всех волшебных свойств этой величины заманчиво было бы поразмышлять, что эта величина, на самом деле, есть "истинная” плотность. Тем не менее, мы не должны обманывать самих себя думая, что такой замечательный результат более надёжен просто благодаря своей ”красоте”, которая есть частично искусственный результат наших предположений.