Физика пространства - времени
Шрифт:
г) По определению x=0. Подставляя эту величину в уравнение (39), получим (45).
11. Относительная синхронизация часов
а), б) и в) При x=0 и t=0 формулы преобразования Лоренца дают t'=0 в системе отсчёта любой ракеты. Это верно вне зависимости от того, равны ли нулю y и z или не равны (вопрос б)). Если же t=0, а x/=0, тогда
t'
=-
x
sh
r
/=
0
.
Уравнение (46) получается при использовании соответствующих условий (t=0) в уравнениях (37).
г) Чтобы вывести (47), подставим t'=0 в уравнения (36).
д)
е) Чтобы произвести измерения в нескольких разных местах в системе отсчёта ракеты при t'=0 (т.е. одновременно в этой системе), необходимо воспользоваться несколькими часами-хронографами. Лучше было бы употребить выражение: «Пусть часы-хронографы на ракете будут расположены так, чтобы каждые из лабораторных часов были рядом с ними в начальный момент ракетного времени (t'=0), и пусть они сфотографируют в этот момент циферблаты лабораторных часов. Тогда на этих фотографиях не все лабораторные часы будут показывать время t=0».
12.Эвклидовы аналогии
Рис. 140.
а) и б) См. рис. 140. Аналогия проявляется, когда мы сравниваем координаты x эвклидовой системы и лоренцевой системы, а также координаты y эвклидовой системы и t лоренцевой системы. При этом на рис. 140 расстояние xA' меньше, чем расстояние xA, что соответствует различию наблюдаемых длин одного и того же движущегося стержня в системах отсчёта ракеты и лаборатории. Подобным же образом, замедление хода часов аналогично различию между значениями координат yA' и yA в двух эвклидовых системах. В эвклидовой геометрии инвариантом является длина стержня, получаемая из значений координат его концов в любой системе. В лоренцевой геометрии инвариант — это интервал между двумя событиями, получаемый из результатов наблюдений в любой инерциальной системе отсчёта.
Рис. 141.
в) См. рис. 141. Точки, для которых y'=0, не все имеют координату y=0. Подобным же образом, не все события, происшедшие при t'=0, будут иметь координату t=0.
13. Лоренцево сокращение. II
Сосредоточим своё внимание на следующих двух событиях: прохождении концов метрового стержня через начало пространственных координат лабораторной системы. В системе отсчёта ракеты эти события разделены расстоянием минус один метр (минус потому, что лаборатория в системе отсчёта ракеты движется в отрицательном направлении оси x) и временем, равным (1 м)/(относительная скорость):
x'
=-
1
м
.
t'
=
1 м
r
.
В лабораторной системе оба события происходят в одном и том же месте, но разделены отрезком времени t который по условию задачи следует положить равным L/(относительная скорость), где L —«длина» метрового стержня, измеренная таким путём в лабораторной системе отсчёта. Подставляя эти величины в формулы преобразования Лоренца (16), выразим t через относительную
t
=
L
r
=
r(-1 м)+(1 м)/r
1-r^2
.
Отсюда
L
=
1-
r
^2
м
,
что и соответствует лоренцеву сокращению, наблюдаемому в лабораторной системе [формула (38)].
14. Замедление хода часов. II
Согласно условию задачи, x'=0, а t'/=0. Расстояние между двумя событиями в лабораторной системе отсчёта можно вычислить по формуле преобразования Лоренца
x
=
0
+
t'
sh
r
.
От нас требуется «измерить» время, прошедшее между этими событиями в лабораторной системе, разделив полученное выше расстояние на скорость движения обеих систем друг относительно друга:
t
=
x
r
=
x
th r
=
t'
ch
r
Это и есть формула, описывающая замедление хода часов (44).
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
Просто подставим в формулы (37) t=tсек/c и r=vr/c. Обратные преобразования [(36) или (16)] примут тогда вид
x
=
x'
ch
r
+
ct
сек
'
sh
r
x'+vr tсек'
1-(vr/c)^2
,
t
сек
'
+
v
r
x'
t
сек
=
x'
sh
r
+
t
сек
'
ch
r
=
c^2
,
c
1-(v
r
/c)^2
16. Вывод формул преобразования Лоренца
Из первого предположения следует условие a+b=e+f, из второго — условие b-a=e-f, а третье предположение даёт r=b/f. В совокупности из полученных трёх условий найдём f/a=1, b/a=e/a=r. Подставляя эти значения коэффициентов в исходные формулы для x и t, запишите условие инвариантности интервала. Отсюда следует a=(1-r^2)^1/^2. Полученные формулы преобразования совпадают с (16).