Физика пространства - времени
Шрифт:
17. Собственная длина и собственное время
а) Направьте ось x' вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте предположение, что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят одновременно. Тогда преобразование Лоренца даёт
t'
=
0
=-
x
sh
r
+
t
ch
r
,
откуда
sh r
ch r
=
th
r
=
r
=
t
x
<
1.
Так
(
x)^2
–
(
t)^2
=
(
x')^2
–
0^2
=
(
)^2
,
так что расстояние между событиями в системе отсчёта ракеты равно собственному расстоянию между этими событиями.
б) Снова направьте ось x вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте теперь предположение. что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят в одном и том же месте. Тогда
x'
=
0
=
x
ch
r
–
t
sh
r
,
откуда
th
r
=
r
=
x
t
<
1,
что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Заметьте, что отношение x/t есть просто та скорость, какой должен обладать в лабораторной системе наблюдатель на ракете, переносящийся от события к событию. Часть а) этого упражнения не содержит такой возможности. Из факта инвариантности интервала следует
(
t)^2
–
(
x)^2
=
(
t')^2
–
0^2
=
(
)^2
,
так что промежуток времени между этими событиями в данной системе отсчёта ракеты равен интервалу собственного времени между ними.
18. Плоскость обоюдного согласия
Эту задачу можно решить двумя способами: во-первых, путём краткого рассуждения и, во-вторых, путём длинных математических преобразований (!). Рассуждения сводятся к следующему. Плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают, должна быть перпендикулярна направлению относительного движения этих систем отсчёта, так как видеть сразу и лабораторные, и ракетные часы синхронизированными друг с другом можно лишь в такой плоскости [см. часть б) упражнения 11]. Однако лабораторная система отсчёта и система ракеты во всех отношениях взаимно равнозначны. Поэтому скорость «плоскости согласия» должна быть одинакова как с точки зрения системы отсчёта ракеты, так и с точки зрения лабораторной системы (разным может быть лишь её направление). Какая промежуточная скорость будет сохранять своё численное значение при переходе от первой системы отсчёта ко второй? Во всяком случае, не /2. Предмет, движущийся в лабораторной системе со скоростью /2, будет обладать в системе отсчёта ракеты скоростью, не равной– /2 (ведь скорости не просто складываются). Однако предмет, движущийся в лабораторной системе так, что его параметр скорости равен r/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты параметром скорости - r/2 (параметры скорости аддитивны). Поэтому скорость движения «плоскости согласия» должна быть равна в лабораторной системе отсчёта =th 1/2 r, если, конечно, такая плоскость существует.
Математические преобразования, дающие тот
2
sh^2
r
x
=
ch
r
– 1
=
2
=
th
r
.
t
sh
r
2
sh
r
sh
r
2
2
2
19. Преобразование углов
Обозначим через x' проекцию метрового стержня на ось x' в системе отсчёта ракеты, а через y' — аналогичную проекцию на ось y'. Значит, тангенс угла ' равен tg '=x'/y'. В лабораторной системе отсчёта y-проекция будет оставаться равной прежней y-проекции в системе ракеты, но xпроекция подвергнется лоренцеву сокращению, согласно выводам упражнения 9. Мы получим
y
=
y'
,
где
y
=
(1
м
)
sin '
,
и
x
=
x'
1-
r
^2
,
где
x'
=
(1
м
)
cos '
,
Отсюда легко вычислить величину тангенса искомого угла в лабораторной системе отсчёта
tg
=
y
x
=
tg '
1-r^2
.
Длина метрового стержня, измеренная в лабораторной системе отсчёта, равна
L
=
(
x)^2+(
y)^2
.
Подставляя сюда полученные выше значения x и y, найдём
L
=
1-
r
^2
cos^2'
м
.
Рис. 142. Электрические силовые линии заряженной частицы в системе отсчёта ракеты.
Рис. 143. Электрические силовые линии заряженной частицы в лабораторной системе отсчёта.
Мысленно заменяя электрические силовые линии метровыми стержнями, можно выяснить, как выглядит электрическое поле вблизи заряженной частицы, покоящейся в системе отсчёта ракеты (на рис. 142 изображена картина, наблюдаемая в системе ракеты, а на рис. 143 — картина, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта). Мы считаем, что электрическая сила, действующая на пробный заряд, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, пропорциональна плотности электрических силовых линий в том месте, где он находится. Следовательно, на пробные заряды, расположенные вдоль пути движения быстрой заряженной частицы (например, в точке A на рис. 143), будет действовать сила, меньшая, чем если бы частица покоилась. В свою очередь на пробные заряды, расположенные в стороне от пути движения быстрой заряженной частицы, будет действовать в момент их наибольшего сближения (например, в точке B на рис. 143) сила, превышающая ту, которая действовала бы, если бы частица — источник поля — покоилась. На этом и на подобных ему релятивистских эффектах основывается анализ электрического и магнитного полей в превосходной книге Парселла, выпущенной в издательстве Мак-Гроу Хилл.