Физика пространства - времени
Шрифт:
20. Преобразование скорости вдоль оси y
Из условия задачи мы знаем, что для любой пары событий на мировой линии частицы x'=0. Тогда из формул преобразования Лоренца
y
=
y'
,
x
=
t'
sh
r
,
t
=
t'
ch
r
,
откуда можно вычислить компоненты скорости в лабораторной системе отсчёта:
y
=
y
t
=
y'
t' ch r
=
y'
ch r
,
x
=
x
t
=
th
r
.
21.
В системе отсчёта ракеты разности координат даются соотношениями
y'
=
'
sin '
·
t'
и
x'
=
'
cos '
·
t'
.
Найдём значения смещений y и x в лабораторной системе отсчёта, пользуясь формулами преобразования Лоренца (42), откуда угол между вектором скорости частицы и направлением относительного движения в лабораторной системе отсчёта оказывается равен
'
sin
'
tg
=
y
=
ch
r
.
x
' cos '+
r
Отличие полученного угла от угла, найденного в упражнении 19, вытекает из того, что теперь мы рассматривали преобразование скорости — величины, включающей время. В последнем уравнении угол стремится к нулю при r– >1, тогда как, напротив, в упражнении 19 мы нашли, что угол наклона метрового стержня по отношению к направлению относительного движения систем стремится к 90°, когда r– >1.
22. Эффект «прожектора» 1)
1) Здесь речь идёт о том пучке лучей, который испущен при единичной мгновенной вспышке. Если бы «прожектор» действовал непрерывно в течение всего времени, его луч, напротив, расширился бы вокруг оси, совпадающей с направлением движения (вперёд или назад—несущественно), концентрируясь с точки зрения неподвижного наблюдателя в перпендикулярном движению «прожектора» направлении (например, на летящем вместе с ним экране). См. в связи с этим упражнение 19. Я благодарен П. И. Филиппову, заметившему этот эффект и обратившему на него моё внимание.—Прим. перев.
В системе отсчёта ракеты проекция на ось x пути, пройденного светом вспышки, равна x'=cos '·t'.
Чтобы найти x и t в лабораторной системе отсчёта, воспользуемся формулами преобразования Лоренца (42). Скорость распространения света вспышки равна единице как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе. Поэтому косинус
x
t
=
cos
=
cos '+r
r cos '+1
.
Это выражение совпадает с полученным в упражнении 21 в случае, когда '=1, как можно показать на основании тригонометрических тождеств. Лучи, распространяющиеся в переднее полушарие в системе отсчёта ракеты, обладают углами, меньшими, чем '=90°. Из только что полученного выражения следует величина максимального угла для таких лучей в лабораторной системе отсчёта: cos =r при '=90°.
Весь свет, испущенный лампой в её системе покоя в переднее полушарие, собирается в направленном вперёд конусе с таким углом раствора относительно направления движения лампы, если наблюдение проводится из лабораторной системы отсчёта.
23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример
Решение дано в тексте.
24. Загадка Эйнштейна
Да, он увидит себя в зеркале. В его системе отсчёта, как и в любой другой инерциальной системе, свет обладает одной и той же скоростью. Своё изображение в зеркале он будет видеть точно таким же, как и при любой другой постоянной скорости движения относительно земли.
25. Парадокс шеста и сарая
Рис. 144. Пространственно-временная диаграмма в системе отсчёта сарая.
Рис. 145. Пространственно-временная диаграмма в системе отсчёта бегуна.
Разрешение этого «парадокса» состоит в том, что в системе отсчёта бегуна передний конец шеста покидает сарай прежде, чем задний конец шеста входит в сарай. Поэтому с точки зрения бегуна шест вообще ни в какой момент времени не находится в сарае целиком. Последовательность событий можно подробнее проиллюстрировать двумя диаграммами пространства-времени (рис. 144 и 145), численные значения длин и моментов времени на которых можно получить из следующих соображений. Так как множитель, описывающий лоренцево сокращение, по условию задачи равен 2, то (см. упражнение 9)
ch
r
=
2
.
Поэтому из тождества
ch^2
–
sh^2
=
1
следует, что
sh
r
=
3
.
Отсюда относительная скорость двух систем отсчёта равна
r
=
th
r
=
3
2
.
Чтобы найти численные значения, приведённые на рис. 144 и 145, достаточно воспользоваться этими данными, а также тем, что длина шеста в системе отсчёта бегуна равна 20 м, а в лабораторной системе 10 м.