Физика пространства - времени
Шрифт:
26. Война в космосе
Камень преткновения состоял в понятии одновременности —«в тот момент, когда» (см. также упражнение 11). Точки a и a' могут поравняться друг с другом только в другом месте вдоль траектории относительного движения ракет, а не в точке, где производится выстрел из орудия. Поэтому момент, когда точки a и a' поравнялись друг с другом, может совпадать с моментом выстрела лишь в какой-то одной из двух систем отсчёта. По условию задачи такая одновременность имеет место в системе O, так что рис. 42 правилен по определению. Но рис. 43 неверен: к тому времени, когда в системе O' поравняются точки a и a', выстрел уже будет произведена Неверна и подпись под рис. 43: снаряд пролетит мимо ракеты с точки зрения обеих систем отсчёта.
27. Парадокс
а) Возраст отправившегося в путешествие Петра будет при его возвращении равен (в годах): 21 (возраст на старте) + 7 (время, проведённое на удаляющейся от Павла ракете A) + 7 (время, проведённое на приближающейся к Павлу ракете B), т.е. всего 35 лет.
б) См. рис. 146.
Рис. 146.
в) Исходя из величины относительной скорости, равной 24/25, найдём значение гиперболического косинуса от параметра скорости
ch
r
=
1-
r
^2
=
25
7
.
Точка, в которой Пётр изменил свою скорость на обратную, имеет в системе отсчёта ракеты A координату x'=0, так как Пётр всё время был в начале координат этой системы; время же, соответствующее этому моменту, равно в системе отсчёта ракеты t'=7 лет. Из формулы преобразования Лоренца для времени найдём, что момент изменения направления скорости в лабораторной системе отсчёта соответствует
t
=
x' sh
r
+
t' ch
r
=
0+7
·
25
7
лет
.
Промежуток времени между расставанием и встречей в лабораторной системе отсчёта вдвое превышает это r, так что к моменту встречи Павлу исполнится 21 + 25 + 25 = 71 год, и он будет более чем в два раза старше, чем Пётр-путешественник!
28. Предметы, движущиеся быстрее света
а) Когда стержень проходит в своём движении вниз расстояние y=yt, точка A продвигается вдоль оси x на расстояние x, даваемое выражением
y
x
=
tg
,
т.е.
x
=
y
tg
=
y
tg
t'
.
Поэтому скорость движения точки пересечения A равна
A
=
x
t
=
y
tg
.
Для любой величины y можно подобрать такой достаточно маленький, но всё же отличный от нуля угол , что A будет больше единицы, т.е. будет превышать скорость света. Но такое перемещение точки пересечения ни в коей мере не влечёт за собой передачи информации вдоль оси x точно так же, как не происходит переноса информации между двумя будильниками, заранее поставленными на определённые моменты времени и зазвеневшими поэтому в разных точках пространства с таким интервалом времени между звонками, что свет не мог бы связать эти два события. В настоящем же примере нужно было предварительно в течение длительного срока ускорять длинный прямой стержень, пока он не приобрёл бы своей конечной скорости, а наблюдатель в начале координат не имеет никакого шанса передать только что появившуюся у него информацию другому наблюдателю, находящемуся далеко от него вдоль
б) В этом случае точка пересечения сможет перемещаться вправо не быстрее, чем со скоростью распространения в стержне акустических волн, т.е. со скоростью, во много раз меньшей, чем скорость света.
в) Обозначим угловую скорость вращения прожектора через (в радианах в секунду). Условие того, что скорость поворота луча превышает c, имеет вид
r
>
c
или
r
>
c/
.
Указанное в условии предупреждение вовсе не передаётся от A к B, совершенно так же, как оно не передавалось бы в случае, если будильники поставлены на очень близкие друг к другу моменты времени.
г) Да, скорость луча на экране может превышать скорость света, как и скорость вращения луча прожектора в части в) этого упражнения могла быть больше c.
29. Синхронизация движущимися часами — подробный пример
Решение дано в тексте.
30. Конструкция часов и замедление их хода
В основе всех рассуждений лежит допущение, что невозможно определить абсолютную скорость движения инерциальной системы отсчёта исходя из вида физических законов, записанных в этой системе, и из входящих в них численных значений констант. Принцип работы любых реальных часов использует скорость протекания тех или иных физических процессов. Возьмём в одной инерциальной системе покоящиеся часы различных конструкций и сравним их ход; затем проделаем это для такого же набора часов, покоящихся в другой инерциальной системе. Если относительный ход часов разных конструкций будет меняться от одной инерциальной системы к другой, то это позволило бы найти абсолютное различие между разными инерциальными системами. Такое неодинаковое поведение разных физических процессов при переходах между системами отсчёта противоречило бы принципу относительности, и поэтому мы должны признать, что это невозможно. Взяв в исходной инерциальной системе часы, прокалиброванные в метрах светового времени, и осторожно ускорив их так, чтобы они в конце концов стали покоиться в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой, мы (как следует предположить) получим в этой второй системе часы, правильно прокалиброванные в метрах светового времени.
31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй
а) Путь по вертикали z, пройденный за время tсек при свободном падении первоначально покоившейся частицей, находится из формулы
z
=
1
2
gt
сек
^2
Здесь g10 м/сек^2 —«гравитационное ускорение» (ускорение силы тяжести) вблизи поверхности Земли. В нашем случае время падения лишь немного превышает 1 метр светового времени, т.е. около 3,3·10 сек. Отсюда
z
10
2
·
(3,3·10)^2
5·10^1
м
.
Это на два порядка меньше размеров атомного ядра! Итак, пространственно-временная область размерами (1 м x 1 м x 1 м пространстве) x 1 м во времени является инерциальной с точностью до 5·10^1 м. Пусть, например, пройденное при падении расстояние измеряется интерференционными методами при помощи видимого света. Тогда минимальное обнаружимое смещение при падении примерно равно длине световой волны — около 5000 A (5·10 м). Чтобы частица при своём падении пролетела такой путь, требуется