Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Разобьём мысленно протяжённый источник света на отдельные малые элементы, каждый из которых можно считать точечным источником. Все эти источники излучают свет одной и той же длины волны , но независимо друг от друга. Поэтому они некогерентны между собой.
Рис. 13.2. Интерференция света в точке A обусловлена лучом, вышедшим из точечного источника S под углом
Каждый элементарный источник света S излучает сферическую волну, т.е. испускает лучи света по всем направлениям (рис. 13.2). После прохождения через пластинку и линзу эти лучи попадают в разные точки экрана. Рассмотрим один из этих лучей, составляющий угол с главной
x
=
F
tg
.
(1)
Так как все эти лучи возникли из одного луча, то они когерентны между собой и, приходя в точку A интерферируют. В зависимости от разности хода между лучами в точке A будет наблюдаться либо усиление, либо ослабление освещённости. Поскольку условия усиления или ослабления колебаний одинаковы для всех пар соседних лучей, для определения положения максимумов и минимумов интерференционной картины достаточно рассмотреть два соседних луча.
Рис. 13.3. К расчёту разности хода интерферирующих лучей
С помощью рис. 13.3 нетрудно убедиться, что разность хода может быть рассчитана следующим образом:
=
(BC+CD)n
–
BE
=
2nd
cos
–
2d
tg
sin
.
(2)
Используя закон преломления света на границе воздух - стекло
sin
=
nsin
,
(3)
выразим разность хода в формуле (2) через угол :
=
2nd
1
cos
–
tg
sin
=
2nd
cos
.
(4)
Из выражения (4) видно, что для данной плоскопараллельной пластинки разность хода зависит только от угла или, в силу соотношения (3), только от угла , образуемого лучом с главной оптической осью. Подчеркнём, что эта разность хода не зависит от положения точечного источника S.
В тех точках экрана, где разность хода равна целому числу длин волн, будет максимум освещённости, а где полуцелому - минимум. Так как зависит только от угла , то эти максимумы и минимумы будут располагаться на концентрических окружностях, центр которых лежит в точке O.
Рис.13.4. В отсутствие плоскопараллельной пластинки точечный источник S даёт светлое пятно на экране в фокальной плоскости линзы
Что же будет наблюдаться на экране в фокальной плоскости линзы от одного элементарного источника S? В отсутствие стеклянной пластинки все лучи из S, проходящие через линзу, создают в соответствии с законами геометрической оптики изображение источника S в некоторой точке S' (рис. 13.4). На экране в фокальной плоскости линзы при этом будет освещённое пятно, размеры которого ограничены крайними лучами, проходящими через линзу. При наличии пластинки это пятно будет прорезано светлыми и тёмными интерференционными полосами, которые, как мы уже выяснили, представляют собой окружности с центром в точке O (рис. 13.5). Радиусы светлых колец, соответствующих условию =k легко вычислить с помощью формул (4) и (1). Эти радиусы не зависят от положения
Рис. 13.5. При наличии плоскопараллельной пластинки светлое пятно на экране изрезано интерференционными полосами
Теперь нетрудно выяснить, как будет выглядеть полная интерференционная картина, создаваемая всем протяжённым источником света. Она получается в результате наложения интерференционных картин от отдельных элементарных источников. Пятна от отдельных источников располагаются в разных местах экрана, частично налагаясь друг на друга (рис. 13.6). Существенно то, что интерференционные кольца на этих пятнах, как было показано, имеют общий центр O и одинаковые радиусы. Поэтому при наложении образуется общая система интерференционных колец. В результате полная интерференционная картина представляет собой совокупность чередующихся светлых и тёмных окружностей, центр которых находится на главной оптической оси линзы.
Рис. 13.6. Наложение интерференционных картин от двух точечных источников
Из приведённого решения ясно, что интерференционные картины в фокальной плоскости линзы от протяжённого монохроматического источника света и от точечного источника S, находящегося на главной оптической оси (рис. 13.2), принципиально не отличаются друг от друга. Отличие только в том, что протяжённый источник даёт больше света, чем его отдельный элемент S, и его интерференционная картина занимает большую площадь на экране.
В заключение отметим, что аналогичную интерференционную картину можно наблюдать и в отражённом от плоскопараллельной пластинки свете.
X. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Механика теории относительности описывает движение тел в тех случаях, когда их скорость сравнима со скоростью света. В релятивистской механике масса зависит от скорости:
m
=
m
1-v^2/c^2
.
(1)
Здесь m - масса покоя, т.е, масса в той системе отсчёта, где тело покоится. Именно эта величина и понимается под массой в нерелятивистской механике.
Импульс частицы p связан с её скоростью v соотношением
p
=
mv
=
mv
1-v^2/c^2
.
(2)
Одним из самых замечательных выводов теории относительности является закон эквивалентности массы и энергии, выражаемый знаменитой формулой Эйнштейна
E
=
mc^2
=
mc^2
1-v^2/c^2
.
(3)
Согласно этому закону любое изменение энергии системы сопровождается пропорциональным изменением её массы. Например, разогнанная частица имеет большую массу, чем неподвижная, нагретое тело - большую массу, чем холодное, сжатая пружина - большую массу, чем несжатая. Из формулы (3) следует, что в релятивистской механике покоящееся тело обладает энергией E=mc^2, которая называется энергией покоя.
Из выражений (2) и (3) следует формула, связывающая между собой энергию и импульс релятивистской системы:
E^2
–
p^2c^2
=
m^2c
.
(4)
Обратим внимание на то, что в правой части (4) стоит величина, не зависящая от выбора системы отсчёта. Поэтому, хотя каждое из слагаемых в левой части имеет разное значение в различных инерциальных системах отсчёта, вся левая часть не зависит от выбора системы отсчёта, т.е. представляет собой релятивистский инвариант. Для ультрарелятивистских частиц, т.е. таких, у которых энергия E много больше энергии покоя mc^2, соотношение (4) можно приближённо переписать в виде E=pc.