Физика в примерах и задачах
Шрифт:
5. Изображение объёмных предметов.
С помощью тонкой линзы получается изображение объёмного предмета, например кубика. Может ли объёмное изображение этого предмета быть геометрически подобным самому предмету (т.е. тоже быть кубиком)?
На первый взгляд может показаться, что так и должно быть, поскольку изображение всегда похоже на предмет. Однако если мы попробуем строго показать, что отношение поперечных и продольных размеров у изображения такое же, как и у предмета, то увидим, что дело обстоит далеко не так просто.
Рис. 5.1.
Количественный подход к решению этой задачи основан на использовании формулы тонкой линзы
1
d
+
1
f
=
1
F
.
(1)
Этой формуле удобно придать несколько иной вид, вводя обозначение p для расстояния от предмета до переднего фокуса линзы и q для расстояния от заднего фокуса до изображения (рис. 5.1):
p
=
d
–
F
,
q
=
f
–
F
.
(2)
Подставляя величины d и f из формул (2) в уравнение (1), после простых преобразований получим
pq
=
F^2
.
(3)
Такой вид соотношения для тонкой линзы называется формулой Ньютона.
Рис. 5.2. К вычислению поперечного и продольного увеличения тонкой линзы
Обозначим поперечный и продольный размеры предмета через y и x, а соответствующие размеры изображения - через Y и X (рис. 5.2). Чтобы выяснить вопрос о геометрическом подобии объёмного предмета и его изображения, введём наряду с поперечным линейным увеличением линзы =Y/y (рис. 5.2) также продольное увеличение , равное отношению продольных размеров изображения и предмета:
=
X
x
.
(4)
Поперечное увеличение линзы можно выразить через введённые величины p и q, характеризующие положение предмета и изображения относительно фокусов линзы:
=
Y
y
=
f
d
=
F+q
F+p
.
(5)
Подставляя сюда фокусное расстояние линзы F из формулы Ньютона (3), получаем
=
q/p
(6)
Для того чтобы получить выражение для продольного увеличения , применим формулу Ньютона к точке предмета, показанной концом горизонтальной стрелки на рис. 5.2:
(p+x)
(q-X)
=
F^2
.
(7)
Раскрываем скобки в левой части выражения (7). Тогда, учитывая формулу (3), получаем
xq
–
pX
–
xX
=
0.
(8)
Предположим, что xX мало по сравнению с каждым из остальных двух членов в соотношении (8). В этом случае из (8) вытекает, что
X
x
=
q
p
.
(9)
Чтобы
Таким образом, когда продольный размер предмета x мал по сравнению с расстоянием p до фокуса, продольное увеличение линзы , в соответствии с формулой (4), даётся выражением (9):
=
p
q
.
(10)
Сравнивая формулы (6) и (10), видим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения:
=
^2
.
(11)
Отсюда следует, что изображение будет геометрически подобным предмету только тогда, когда ==1. Для сохранения геометрического подобия предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Во всех остальных случаях геометрического подобия не будет.
Итак, если мы хотим с помощью тонкой линзы получить изображение объёмного предмета, геометрически подобное самому предмету, то продольные размеры предмета должны быть малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить его нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.
6. Фокусировка пучка параллельных лучей.
Рассмотрим параллельный пучок монохроматических лучей. Если на пути такого пучка поставить собирающую линзу со сферическими поверхностями, то, как известно, все лучи соберутся в одной точке, называемой фокусом. Однако это верно лишь для узкого пучка, т.е. для лучей, не слишком сильно отстоящих от оптической оси. Это значит, что ширина пучка должна быть мала по сравнению с радиусом кривизны преломляющих поверхностей линзы. Для широких пучков имеет место сферическая аберрация, т.е. «далёкие» лучи пересекают оптическую ось не в фокусе (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Сферическая аберрация обыкновенной линзы
А нельзя ли выбрать форму преломляющих поверхностей линзы таким образом, чтобы сферическая аберрация вообще отсутствовала, т.е. пучок параллельных лучей любой ширины собирался бы в одной точке?
Рис. 6.2. К нахождению формы преломляющей поверхности, которая фокусирует пучок параллельных лучей
Для решения этой задачи удобно воспользоваться принципом Ферма. Предварительно решим вспомогательную задачу. Выясним, какой должна быть форма преломляющей поверхности, разделяющей две однородные среды с показателями преломления n=1 и n, чтобы параллельный пучок лучей после преломления собрался в одной точке. Из соображений симметрии ясно, что это будет поверхность вращения вокруг оси симметрии пучка. Поэтому достаточно искать сечение этой поверхности осевой плоскостью (рис. 6.2). Поскольку у всех лучей на оси x фаза одинакова, оптическая длина лучей от оси x до фокуса, лежащего на заданном расстоянии F, должна быть одна и та же.