Индия в древности
Шрифт:
Важное место в индийской математике занимали задачи на простое и сложное тройное правило. Хотя его знали уже египтяне и греки, индийские математики впервые выделили его в специальный арифметический прием и разработали схемы к задачам, содержащим несколько связанных пропорциями величин. Брахмагупта и позднейшие ученые добавили обратное тройное правило и правила 5, 7, 9 и 11 величин. Из Индии эти правила распространились в страны Ближнего Востока и оттуда в Западную Европу.
В алгебре крупнейшим достижением индийских математиков явилось создание развитой символики, гораздо более богатой, чем у греческих ученых. В Индии впервые появились особые знаки для нескольких неизвестных, свободного члена уравнения, степеней. Символами служили первый слог или буква соответствующего санскритского
Начиная с Брахмагупты индийские математики стали широко оперировать отрицательными величинами, трактуя положительные числа как некое имущество, а отрицательные числа — как долг. Брахмагупта описывал все правила действий с отрицательными числами, хотя ему и не была известна двузначность при извлечении квадратного корня. Позднее индийские математики достигли огромных успехов в решении общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными, решение которого давалось в целых положительных числах, а также в разработке отдельных задач дифференциального и интегрального исчисления. Значение Арьябхата принимал равным 3,1416, что свидетельствует о большой точности вычислительных методов. Достижения индийских математиков были восприняты учеными арабского мира, получили широкую известность на средневековом Востоке, оказали влияние и на европейскую математику[2180].
Наиболее значительным достижением индийской астрономии рассматриваемой эпохи явился труд Арьябхаты «Арьябхатия»[2181]. Среди высказанных им астрономических идей исключительную важность имеет идея движения Земли вокруг своей оси при неподвижности звездного неба. Эта новаторская позиция резко расходилась с ортодоксальными установлениями и нормами, и не случайно теория Арьябхаты о вращении Земли была резко осуждена жречеством и ортодоксальными учеными[2182].
Высоко оценивая это открытие индийского ученого, надо, однако, иметь в виду, что Арьябхата рассматривал движение Земли возможным лишь теоретически; в своих же практических расчетах он исходил из неподвижности Земли. Его рассуждения можно рассматривать как соображения об относительном характере движения.
Арьябхата разработал также теорию солнечных и лунных затмений, указывая, что при солнечном затмении Земля попадает в тень, отбрасываемую Луной, а при лунных затмениях Луна попадает в тень Земли. «Когда в конце истинного лунного месяца (т. е. в новолуние. — Авт.) Луна, находясь вблизи одной из точек пересечения орбит (Луны и Солнца), заслоняет Солнце или когда в конце половины месяца (т. е. в полнолуние. — Авт.) Луна входит в тень Земли, это есть середина затмения; они происходят иногда до, а иногда после конца истинного лунного месяца или половины месяца» (Арьябхатия IV.38). Эта теория сразу же вызвала резкие нападки на ученого со стороны жречества и даже многих крупных ученых, ибо Арьябхата посягнул на одно из космогонических учений брахманизма и индуизма. Так, Брахмагупта гневно писал о том, что мнение Арьябхаты чуждо ведам, смрити и самхитам[2183]. В целом труд Арьябхаты содержит многие рационалистические идеи, что позволяет соотнести некоторые взгляды ученого с позицией локаятиков — древнеиндийских материалистов.
Сведения по истории астрономии рассматриваемого периода мы черпаем также из пяти сиддхант («научных трактатов»), которые на протяжении многих последующих веков изучались, комментировались, перерабатывались. Эти сиддханты подробно описаны и разобраны в трактате Варахамихиры «Панча-сиддхантика»[2184]. Время их составления датируется III–IV вв. н. э. Варахамихира разбирает следующие пять сиддхант: «Пайтамаха-сиддханта», «Васиштха-сиддханта», «Паулиша-сиддханта», «Ромака-сиддханта», «Сурья-сиддханта». Бируни ссылается на слова Брахмагупты: «Сиддханты многочисленны; в их числе: „Сурья“, „Инду“, „Паулиша“, „Ромака“, „Васиштха“ и „Явана“, т. е. „греческая“; несмотря на многочисленность, сиддханты отличаются только словами, но не по смыслу. И тот, кто разберется в них как следует, поймет, что они совпадают друг
Никаких сведений об «Инду-сиддханте» до нас не дошло. Под «Явана-сиддхантой», видимо, подразумевается санскритский трактат «Явана-джатака», составленный в III в. н. э. Спхуджидхваджей[2186]. «Явана-джатака» составила основу всех позднейших индийских работ по этой тематике вплоть до XIII в., когда стали проникать в индийскую астрологию теории ученых мусульманского мира. По мнению издателя этого сочинения Д.Пингри, значительная часть «Явана-джатаки» была непосредственно заимствована из эллинистических источников (прослеживается и влияние вавилонской астрономии). Воздействие эллинистической науки ощущается и в «Ромака-сиддханте», и в «Паулиша-сиддханте».
Индийцы были знакомы как с доптолемеевскими методами ортогонального проектирования, так и с теориями движения Солнца, Луны, планет, изложенными в «Алмагесте» Птолемея (II в.). Решение астрономических задач было основано на применении принципа гномоники. Гномон — вертикальный шест постоянной длины; согласно «Сурья-сиддханте», его длина составляла 12 ангула. Определялась длина отбрасываемой гномоном тени, которая изменяется в течение дня в зависимости от высоты Солнца. Гномон и его тень фигурируют и во многих задачах по тригонометрии. В связи с постановкой астрономических задач индийцы пришли к понятию функциональной зависимости между величинами. В астрономических сочинениях функция задавалась двумя способами: графическим, основанным на методах гномоники, и тригонометрическим. Оба способа имеют вид словесных расчетных правил, обычно составленных в стихах. В некоторых случаях словесные рекомендации дополнялись таблицами.
Для определения координат небесных тел индийцы употребляли горизонтальную, экваториальную и эклиптическую системы координат. В горизонтальной системе высота, или зенитное расстояние, определялась аналогично тому, как это делается в современной астрономии, но азимут отсчитывался от первого вертикала или от восточной или западной точки горизонта, чтобы он не превышал 90°. Арьябхата определял круг азимута, а также приводил значение наклона эклиптики к экватору, принимая его равным 24° (современное значение 23°27'). В экваториальной системе двумя координатами являются склонение (кранти) и восхождение, отсчитываемое по кругу экватора. В эклиптической системе положение тела определяется широтой и эклиптической долготой, измеряемой от некоторой фиксированной точки на эклиптике, например от точки весеннего равноденствия. Индийские астрономы вычисляли и часовой угол.
В основе движения небесных тел в индийской астрономии лежат эксцентрическая и эпициклическая модели. Впервые понятие эпицикла встречается у Гераклита Понтийского (IV в. до н. э.), а понятия эксцентра и эпицикла — у греческого математика Аполлония Пергского (III в. до н. э.). Во II в. до н. э. греческий астроном Гиппарх разработал теорию движения Солнца, основываясь на понятии эксцентра, и теорию движения Луны, исходя из простой эпициклической модели. Во II в. н. э. известный александрийский ученый Птолемей, исходя из эпициклической и эксцентрической гипотез, разработал теорию движения планет. Сочинения Гиппарха известны в отрывках, поэтому основным источником для изучения теории движения Солнца, Луны и планет в эллинистической науке является «Алмагест» Птолемея.
Эти модели использовались для объяснения движения Солнца и Луны, хотя уже для Луны они не вполне соответствовали данным наблюдений. Поэтому индийские астрономы, как раньше греческие, а впоследствии арабоязычные, для объяснения движения планет пользовались усложненными моделями. Обращаясь к движению планет, Арьябхата исходил именно из эксцентрической и эпициклической моделей, отмечая, что «все планеты двигаются при своем [среднем] движении по их орбитам и их эксцентрическим кругам от линии апсид к востоку и от точки узла к западу». Он указывал, что «эксцентрический круг каждой планеты равен орбите, по которой движется средняя планета». Согласно Арьябхате, «расстояние между центром Земли и центром эксцентрического круга равно радиусу эпицикла. Планеты движутся в их среднем движении по эпициклам».