Изложение системы мира

Лаплас Пьер Симон

Что касается промежутка времени между приливами от одного дня к другому, то Ньютон замечает, что этот промежуток короче всего в сизигиях; затем он растёт от сизигии до следующей квадратуры; в первом октанте [дуге в 45°] он равен лунным суткам и в квадратуре имеет максимум, после чего уменьшается. В следующем октанте он снова становится равен лунным суткам и наконец в сизигии он опять минимален. Его средняя величина равна лунным суткам, так что бывает столько же приливов, сколько верхних и нижних прохождений Луны через меридиан.

Таковы были бы, по теории Ньютона, явления приливов, если бы Солнце и Луна двигались в плоскости экватора. Но наблюдения показывают, что самая полная вода наступает не в самый момент сизигий, а на 3/2 суток позже. Ньютон приписывал это запаздывание колебаниям уровня моря, которые продолжались бы ещё некоторое время, если бы влияние светил прекратилось. Точная теория колебания моря, производимого этим влиянием, показывает, что если бы не было побочных обстоятельств, самые высокие приливы совпадали бы с сизигиями, а самые малые — с квадратурами. Таким образом, их запаздывание относительно моментов этих фаз не может быть приписано причине, указанной Ньютоном. Оно зависит, так же как и время полной воды в каждом

порту, от побочных обстоятельств. Этот пример показывает нам, как надо остерегаться даже самых правдоподобных суждений, если они не проверены строгим анализом.

Однако рассмотрение двух эллипсоидов, наложенных один на другой, всё же даёт представление о приливах, если направить большую ось солнечного эллипсоида к воображаемому Солнцу, всегда одинаково удалённому от истинного. Большая ось лунного эллипсоида подобным же образом должна быть направлена к воображаемой Луне, всегда одинаково удалённой от настоящей Луны на такое расстояние, что соединение двух воображаемых светил происходит только через сутки с половиной после сизигии.

Такое представление посредством двух эллипсоидов, распространённое на случай, когда светила движутся по орбитам, наклонённым к экватору, не может быть согласовано с наблюдениями.

Если порт расположен на экваторе, то вблизи максимума приливов оно даёт два полных прилива — утренний и вечерний, почти одинаковой величины, каковы бы ни были склонения светил. Лишь действие каждого светила уменьшается в отношении квадрата косинуса его склонения к единице. Но если порт находится на некоторой широте, не равной нулю, эти два полных прилива могли бы быть очень различными, и когда склонение светил равно наклонности эклиптики, вечерний прилив в Бресте был бы приблизительно в 8 раз больше чем утренний. Однако многочисленные наблюдения, сделанные в этом порту, показывают, что и в этом случае эти два прилива почти одинаковы, и их самая большая разность не превышает тридцатой части их суммы. Ньютон приписывает малость этой разности той же причине, которой он объяснял запаздывание самой большой воды в момент сизигии, а именно, колебательным движениям моря, которые, по его мнению, перенося большую часть вечернего прилива на следующий утренний прилив, делают эти приливы почти одинаковыми. Но теория колебаний моря показывает, что и это объяснение неточно, и что без дополнительных обстоятельств, два последовательных прилива были бы равны только в случае, если бы море везде было одинаковой глубины.

В 1738 г. Академия наук предложила исследование причины приливов и отливов моря в качестве темы на соискание премии по математике, которую и присудила в 1740 г. Были премированы четыре работы. Три первые, основанные на принципе всемирного тяготения, были присуждены Даниилу Бернулли, Эйлеру и Маклорену. Иезуит Кавальери, автор четвёртой работы, принял систему вихрей. Это была последняя честь, отданная этой системе Академией наук, которая в то время пополнялась молодыми геометрами, удачные работы которых должны были внести большой вклад в прогресс небесной механики.

Три работы, основанные на законе всемирного тяготения, являются развитием теории Ньютона. Они опираются не только на этот закон, но ещё на гипотезу, принятую этим великим геометром, о том, что море в каждый момент принимает фигуру, при которой оно находится в равновесии под притягивающим его светилом.

Работа Бернулли содержит наиболее точные разложения. Он, как и Ньютон, приписывает запаздывание максимальных и минимальных приливов по отношению к моментам сизигий и квадратур инерции морской воды и добавляет к этому, что, может быть, часть этого запаздывания зависит от времени, затрачиваемого действием Луны, чтобы достигнуть Земли. Но я установил, что всемирное тяготение передаётся между небесными телами со скоростью, которая если и не бесконечна, то превосходит в несколько миллионов раз скорость света, а известно, что свет от Луны достигает Земли меньше, чем за две секунды.

Даламбер в своём трактате о главной причине ветров, который получил в 1746 г. премию Прусской Академии наук, рассмотрел колебания атмосферы, вызванные притяжением Солнца и Луны. Предполагая, что Земля лишена вращательного движения, рассмотрение которого он считал бесполезным в своих исследованиях, и полагая плотность атмосферы везде одинаковой и подверженной притяжению неподвижного небесного светила, он определил колебания этого газа. Но когда он захотел рассмотреть случай с движущимся светилом, трудность проблемы заставила его прибегнуть для её упрощения к порочным гипотезам, так что полученные результаты нельзя рассматривать даже как приближение. Из его формул получается постоянство ветра с востока на запад, но интенсивность его зависит от первоначального состояния атмосферы. А так как величины, зависящие от этого состояния, давно должны были исчезнуть под влиянием всех причин, которые восстановили бы равновесие атмосферы, если бы действие светил прекратилось, нельзя таким путём объяснить пассатные ветры. Трактат Даламбера замечателен своими решениями некоторых проблем интегрального исчисления в частных производных, решениями, которые годом позже он столь удачно применил к движению вибрирующих струн.

Таким образом, вопрос о движении жидкостей, покрывающих планеты, был почти совершенно новым, когда в 1772 г. я к нему обратился. Опираясь на недавние открытия в области исчисления в частных производных и в теории движения жидкостей, открытий, в которых Даламбер принимал большое участие, я опубликовал в мемуарах Академии наук за 1775 г. дифференциальные уравнения движения жидкостей, которые, покрывая Землю, притягиваются Солнцем и Луной. Сперва я приложил эти уравнения к задаче, которую безуспешно пытался разрешить Даламбер, задаче о колебаниях жидкости, покрывающей Землю, предполагаемую сферичной и лишённой вращения, считая, что притягивающее светило движется вокруг этой планеты. Я дал общее решение этой задачи для произвольных плотности и начального состояния этой жидкости, предположив, что каждая молекула жидкости испытывает сопротивление, пропорциональное её скорости. Это позволило мне выяснить, что начальные условия движения уничтожаются с течением времени из-за трения и некоторой небольшой вязкости жидкости. Но рассмотрение дифференциальных уравнений вскоре позволило обнаружить необходимость учитывать и вращательное движение Земли. Поэтому я рассмотрел это движение и постарался специально

определить колебания жидкости, единственно устойчивые и независимые от её первоначального состояния. Эти колебания бывают трёх родов. Колебания первого рода независимы от вращения Земли, и их определение не представляет больших трудностей. Колебания, зависящие от вращения Земли, период которых около суток, относятся ко второму роду. Наконец, третий род колебаний состоит из колебаний с периодом, близким к полусуточному. В наших портах они значительно превышают другие колебания. Я точно определил эти различные колебания в случаях, когда это было возможно, и путём хорошо сходящихся приближений — в остальных случаях. Разность двух последовательных полных приливов во время солнцестояний зависит от колебаний второго рода. Эта разность, очень мало заметная в Бресте, была бы очень велика по теории Ньютона. Этот великий геометр и его последователи, как я уже говорил, приписывали расхождение между их формулами и наблюдениями инерции морских вод. Но анализ показал мне, что оно зависит от распределения глубин моря. Поэтому я искал такой закон, который сводит это расхождение к нулю, и нашёл, что для этого глубина моря должна быть постоянной. Предположив затем, что Земля имеет эллиптическую форму, которая и морям придаёт подобную же эллиптическую фигуру равновесия, я дал общее выражение неравенствам второго рода. При этом я пришёл к тому замечательному заключению, что движения земной оси оказываются такими же, как если бы море составило вместе с Землёй одну твёрдую массу, что противоречило мнению геометров, особенно Даламбера, который в своей важной работе о предварении равноденствий заявил, что текучесть морей лишила их всякого влияния на это явление. Сделанный мной анализ дал, кроме того, главное условие устойчивости равновесия моря. Геометры, рассматривая равновесие жидкости, покрывающей эллиптический сфероид, заметили, что если немного сжать его фигуру, жидкость стремится вернуться к своему первоначальному состоянию только в том случае, если отношение её плотности к плотности сфероида меньше 5/3, и это условие они сделали условием устойчивости равновесия жидкости. Но в этом исследовании недостаточно рассмотреть только состояние покоя жидкости, очень близкое к равновесию. Надо ещё предположить, что она имела какое-либо очень малое первоначальное движение, и определить условие, необходимое для того, чтобы это движение все время оставалось в узких пределах. Рассматривая проблему с этой общей точки зрения, я нашёл, что если средняя плотность Земли превышает среднюю плотность моря, эта жидкость, выведенная по какой-либо причине из состояния равновесия, никогда не отклонится от него больше, чем на очень малую величину; но эти отклонения могли бы быть очень большими, если бы упомянутое выше условие не было выполнено. Наконец, я определил колебания атмосферы, покрывающей океан, и нашёл, что притяжения Солнца и Луны не могут вызывать её постоянное движение с востока на запад, наблюдаемое под названием пассатных ветров. Колебания атмосферы производят в высоте барометра маленькие изменения, размах которых на экваторе равен половине миллиметра. Эти колебания заслуживают внимания наблюдателей.

Предыдущие исследования, хотя и очень общие, ещё далеко не воспроизводят наблюдения приливов в наших портах. Они предполагают, что поверхность земного сфероида имеет правильную форму и полностью покрыта морем. Но очевидно, что большие неправильности этой поверхности должны значительно изменять движение вод, которыми она покрыта только частично. В самом деле, опыт показывает, что побочные обстоятельства вносят сильные изменения в высоту и время приливов, даже в очень близко расположенных портах. Эти изменения невозможно подвергнуть расчёту, так как обстоятельства, от которых они зависят, нам неизвестны. Даже если бы они и были известны, исключительная трудность проблемы воспрепятствовала бы её разрешению. Впрочем, среди многочисленных модификаций движения моря, зависящих от этих обстоятельств, это движение сохраняет с силами, которые его производят, соотношения, указывающие на природу этих сил и подтверждающие закон притяжения моря Солнцем и Луной. Исследование этих соотношений между причинами и их действием не менее полезно в натуральной философии, чем прямое решение проблем, как для проверки существования этих причин, так и для определения законов их действия. Часто такое исследование можно с успехом использовать, и оно, подобно исчислению вероятностей, счастливо восполняет наше незнание и недостатки человеческого ума.

В данном вопросе я исходил из следующего принципа, который может быть полезен и в других случаях: «состояние системы тел, в котором начальные условия движения исчезли из-за сопротивления, испытываемого этим движением, является периодическим, как те силы, которые движут эту систему».

Отсюда я заключил, что если море подвержено действию периодической силы, выраженной через косинус угла, возрастающего пропорционально времени, возникает частичный прилив, выраженный косинусом угла, возрастающего таким же образом, но у которого постоянная под знаком косинуса и коэффициент при этом косинусе в силу побочных обстоятельств могут быть очень отличными от аналогичных постоянных в выражении силы и могут определяться только из наблюдений. Выражение действия Солнца и Луны на море может быть развёрнуто в сходящийся ряд подобных косинусов. Отсюда рождается столько же частичных приливов, которые по принципу сосуществования малых колебаний складываются вместе, чтобы образовать суммарный прилив, наблюдаемый нами в порту. С такой точки зрения я рассмотрел приливы в четвёртой книге «Небесной механики». Чтобы связать между собой различные постоянные частичных приливов, я рассматривал каждый прилив как результат действия одного светила, равномерно движущегося в плоскости экватора. Приливы с периодами, близкими к полусуткам, происходят от действия светил, собственное движение которых очень медленно в сравнении с вращательным движением Земли. А так как угол косинуса, выражающего действие одного из этих светил, кратен вращению Земли [суткам] плюс или минус кратное собственного движения [период обращения] светила и, кроме того, постоянные косинусов, выражающих прилив, зависящий от двух светил, имели бы такое же отношение к постоянным косинусов, выражающих их действие, если бы их собственные движения были одинаковы, я предположил, что для разных светил отношения изменяются пропорционально разности их собственных движений. Ошибка этой гипотезы, если она существует, не имеет заметного влияния на главные результаты моих вычислений.