Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

(all)aa'

(5.10)

Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.

L

=

{

i

q

D

q-m

 

q

q

}

 -

1

(DxB)

₂

 -

(B)

^q

4

 

2

^q

^QCD

 

+

(

 

 

)(

 

– gf

 

B

)

 

,

^a

^ab

 

^abc

^c

^b

=

1-1/

(5.11)

Начиная

со следующего раздела, в обозначении лагранжиана L индекс КХД мы также будем опускать.

2. Физические калибровки

Появление духов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка⁸⁾, однако она тоже не свободна от духов. Необходимость введения духов исчезает, если потребовать выполнения соотношений

⁸ Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].

n·B=0,

n

²

<=0.

(5.12)

Случай пространственноподобного вектора n(n²<0) соответствует аксиальным калибровкам⁹⁾, а случай светоподобного вектора n(n²=0) — светоподобной калибровке¹⁰⁾. Так как вектор n является по отношению к задаче внешним его введение нарушает явную лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных результатов для физических величин от вектора n, а следовательно, и их лоренц-инвариантность.

⁹ Аксиальные калибровки обсуждаются в работе [185]. См. также цитируемую там литературу.

¹⁰ См., например, работу [247] и цитируемую там литературу.

Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид

L

 

{

i

q

D

q - m

 

q

q

}

 -

1

(DxB)

₂

–

1

(n·B)

₂

.

ⁿ

^q

4

 

2

 

 

^q

(5.13)

В

дальнейшем по параметру подразумевается предельный переход ->0, так что условие (5.12) представляет собой операторное соотношение, выполненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий лагранжиану (5.13), записывается в виде

i

– g

– k

k

(n

²

+k

²

)/(k·n)

²

+ (n

k

+n

k

)(n·k)

^{– 1}

;

k

²

+i0

(5.14)

в пределе ->0 он принимает вид

i

– g

– n

²

(k

k

/(k·k)

²

) + (n

k

+n

k

)/(k·n)

.

k

²

+i0

(5.15)

Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить только на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.

При рассмотрении светоподобных калибровок удобно ввести так называемые "нулевые" координаты, определяемые для любого вектора v в виде

v

^±

=

1

2

(v

⁰

±v

³

),

v

v¹

v²

; v

^a

=v

^±

или v

ⁱ

(i=1,2).

Метрика определяется следующим образом:

g

_+-

=g

_{– +}

=1,

g

₊₊

=g

_{– -}

=0,

g

_ij

=-

_ij

,

i,j=1,2.

Отметим, что выполняются соотношения

v·w=v

₊

w

_–

+v

_–

w

₊

–

vw

=v

_a