Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
L
=- 1/2 (
)
(6.2)
соответствующий свободному безмассовому полю . Обобщим калибровочные преобразования таким образом, чтобы включить поля . Если определить параметры инфинитезимальных преобразований в виде (x)=(x), то поля, входящие в лагранжиан, преобразуются по формулам
(x)->(x)+ie(x)(x),
A– >A– (x),
(x)->(x)-A(x).
(6.3)
Тогда С точностью до 4-дивергенции
L
=L
+L
QED
(6.4)
инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого случая довольно прост. Благодаря тому что поля A не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля можно выбрать в виде свободных действительных полей. Однако простота лагранжиана L не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают все тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот факт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно получить условие поперечности фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)
Рассмотрим величину A(x)(0)0. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру получаем
A(x)(A(0))0 = ((x))(0)0.
Фурье-образ этого выражения имеет вид
d
4
xe
iq·x
A
(x)
A
(0)
0
=
iq
d
4
xe
iq·x
A
(x)A
(0)
0
=iq
D
(q)
=
– 1
d
4
xe
iq·x
(
(x))(0)
0
=
i
q
d
4
xe
iq·x
(x)(0)
0
=
1
·
q
q
2
+i0
(6.5)
Последнее равенство справедливо в силу того, что поля свободные, и, следовательно, их пропагатор имеет вид пропагатора свободных полей. Таким образом, доказано, что если пропагатор D
D
(q)
=
(-q
2
g
+q
q
)D
tr
(q
2
)
+
q
q
D
L
(q
2
).
q
2
(6.6)
то последняя имеет вид
D
L
=
– 1
·
i
q
2
+i0
(6.7)
аналогичный продольной части пропагатора свободных полей. Напомним, что пропагатор свободных полей выражается в виде
D
0
(q)
=
i
– g
+(1-
– 1
)q
q
/(q
2
+i0)
.
q
2
+i0
Другими словами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням константы взаимодействия
D
(q)
=
D
(0)
(q)
+
e
2
D
(2)
(q)
+ …,
4
то все величины D(n) удовлетворяют условию поперечности:
qD(n)(q)=0, n=2,4,…,
которое эквивалентно соотношению (5.10).
Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неабелевой теории являются так называемые преобразования Бекши — Роуета — Стора (БРС) [32, 33]. При этом поля духов, как и все другие поля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится калибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] — Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предполагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС представляет собой не зависящую от пространственно-временной точки x c-числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) полями10b). Инфинитезимальные преобразования БРС определяются в виде
10b При этом 2=0, =-, q=-q, B=-B и т.д. Следует помнить, что поля являются фермионными и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так что справедливо соотношение bc=-cb.
B
– >
B
–
{
ab
– gf
abc
B
}
b
,
a