Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
– m{1-C
F
g
2
B
D
(p
2
)}
(7.5 б)
В действительности нетрудно убедиться, что формула (7.5а) точно учитывает вклад всех диаграмм рис. 4 и при замене (2) на exact представляет собой наиболее общее выражение для пропагатора S. Из выражения (7.56) видно, что расходимости возникают от следующих членов:
1-C
F
g
2
(1-)N
(содержится
D
)
16
2
(7.6)
(на него умножается свободный пропагатор S) и
1+3C
F
g
2
N
(содержится в B
D
)
16
2
(7.7)
(на него умножается масса кварка m). Но оба эти множителя конечны при условии /=0.
Завершим данный параграф замечанием об инфракрасных расходимостях. В этой книге мы рассматриваем главным образом ультрафиолетовые расходимости, появляющиеся в пределе k-> и дающие особенности в виде полюсов гамма-функции (/2). Но процедура размерной регуляризации позволяет также выделять полюсы, отвечающие инфракрасной расходимости и связанные с областью малых значений импульса k->0. Инфракрасные расходимости проявляются в вычислениях как особенности гамма-функции -(/2). Детальное обсуждение этого вопроса можно найти в работе [134].
§ 8. Общие сведения о процедуре перенормировок
Рис. 5. Процесс рассеяния +u->e+d и глюонные поправки к нему.
Рассмотрим следующий процесс. Фотон соударяется с u-кварком протона, а затем u-кварк за счет слабого взаимодействия распадается по схеме u->d+e++ (рис. 5). В низшем порядке по константам связи электромагнитного и слабого взаимодействий и в нулевом порядке по константе сильных взаимодействий g в рассматриваемый процесс дает вклад только диаграмма рис. 5,а. Возможные глюонные поправки описываются диаграммами рис. 5,б-г. Аргументом кваркового пропагатора S(р), фигурирующего в выражении для амплитуды рассеяния, является комбинация p=py+pu (обозначения очевидны); следовательно, выражение для амплитуды рассеяния оказывается расходящимся, и никаких выводов о ее поведении, по крайней мере в рамках теории возмущений, сделать нельзя.
В действительности это не так. При построении теории была допущена некоторая неточность. Рассмотрим для простоты скалярное взаимодействие вида , где поле безмассовое. Лагранжиан, описывающий систему взаимодействующих полей, имеет вид
L=
(i
– m) + 1/2
+ g
.
(8.1)
Как уже говорилось выше, S -матрица определяется выражением
S
=
T exp i
d
4
xL
0
(x)
int
=
1+
i
n
d
4
x
1
…d
4
x
n
TL
0
(x)
1
…L
0
(x)
n
,
n!
int
int
n=1
(8.2)
где
L
0
=
g:
0
0
:
0
.
int
(8.3)
Но эта процедура некорректна. Очевидно, что поля, фигурирующие в выражении (8.1) не являются свободными, а их масса m не совпадает с массой, которую имеет поле в отсутствие взаимодействий. Это видно из выражения (7.5) для кваркового пропагатора, в котором масса кварка заменена на комбинацию вида
m{1-
4
g
2
B
D
},
3
а числитель умножен на выражение
1 -
4
g
2
A
D
3
В силу свойства инвариантности теории по отношению к преобразованиям групп внутренней и пространственной симметрии допустимы лишь следующие изменения полей и параметров, фигурирующих в лагранжиане: изменения мультипликативного типа
– >Z
– 1/2
u
, ->Z
– 1/2
u
, g->Z
g , m->Z
m ,
g
m
(8.4)
и изменения, вызванные добавлением в лагранжиан некоторых дополнительных членов. Можно показать, что в рассматриваемом случае скалярного взаимодействия необходимо еще добавить в лагранжиан член вида 4. Но мы пока этим членом пренебрежем. Таким образом, принимая во внимание только (8.4), из формулы (8.1) получаем выражение для так называемого "перенормированного" лагранжиана