Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
M
R
p
=
Z
M
Z
– 1
F
M
0
p
+
iM
0
p
g
2
C
F
d
D
k
–
(
+
)(
+
)
k
2
(p+k)
4
+S
u
(p)+S
u
(p)
.
(13.4)
где
M
0
:
q
0
q
0
: .
Рис. 9.
Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых - диаграмме рис. 9, б, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, в. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не влияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов Su в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем ZF; таким образом, остается только расходимость, связанная с интегралом:
– iC
F
g
2
d
D
k
(2)
D
4-D
0
k
2
(p+k)
2
div
=
4g
2
C
F
16
2
(/2)(4)
/2
0
.
Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором Su , получаем
Z
M
=1-
3C
F
g
4
2
+log 4-
E
– log
2
/
2
0
.
(13.5)
Вычисление перенормировочного множителя ZM проведено в калибровке Ферми-Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является
Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин qq или q5q' , то получили бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, это утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы переходим. Пусть ток J представляет собой квазисохраняющийся оператор, т.е. в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию J(x)=0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных полей i и тока J
J
(x)
1
(y
1
)…
N
(y
N
) .
Тогда, используя соотношение 0(x0– y0) = (x0– y0), можно получить тождество Уорда
J(x)1(y1)…N(yN)
=
(
J
(x))
1
(y
1
)…
N
(y
N
)
+
N
k=1
(x
0
– y
0
k
)
1
(y
1
)
…
[J
0
(x),
k
(y
k
)]
…
N
(y
N
) .
(13.6)
Пусть справедливо равенство
(x
0
– y
0
k
)[J
0
(x),
k
(y
k
]
=
'
k
(y)
k
(x-k
k
) ;
тогда, если множители ZJ и ZD представляют собой аномальные размерности тока J и его дивергенции J соответственно, а множители J и D являются коэффициентами перед членом -(g2/162)N в выражениях для ZJ и ZD, то, применяя к левой и правой частям (13.6) оператор d/d, получаем
J
J
(x)
1
(y
1
)…
N
(y
N
)
=
m
m
m
J
(x)
1
(y
1
…
N
(y
N