Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока Jem=QqVq, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы Vq имеют следующий вид:
V
q
(x)=:
q
(x)
q(x): ;
и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения
V
(x)=0 .
q
(13.1
В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток
A
qq'
(x)=:
q
(x)
5
q'(x): .
Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям
A
qq'
(x)=i(m
q
+m
q'
)J
5
qq'
(x) , J
5
qq'
(x)=:
q
(x)
5
q'(x): ,
(13.1 б)
из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.
Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными 21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.
21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей ZF, ZemF и т.д.
Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор i:qi(x)qi(x)M(x). Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной ququ и проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z– 1Fququ , проводя подстановки g->gu=Zgg для константы связи и m->mu=Zmm для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, чтобы величина M была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора M, необходимо умножить его на дополнительный множитель ZM, называемый перенормировочным множителем оператора:
M
R
(x)=Z
M
M(x) .
(13.2)
Чтобы
M
R
(x)=Z
M
T:
q
0
(x)q
0
(x):
exp i
d
4
zL
0
int
(z) .
В низшем порядке теории возмущений по константе связи g это выражение принимает вид
M
R
(x)
=
Z
M
Z
– 1
F
:
q
0
(x)q
0
(x):
=
–
g
2
2!
Z
M
d
4
z
1
d
4
z
2
T
:
q
0
(x)q
0
(x):
:
q
0
(z
1
)t
a
q
0
(z
1
):
x
q
0
(z
2
)t
b
q
0
(z
2
):
B
0a
(z
1
)
B
0b
(z
2
) .
(13.3)
Поскольку перенормировочный множитель оператора имеет вид ZM=1+O(g2), множителем ZM во втором слагаемом правой части (13.3) можно пренебречь. Рассмотрим далее расходящиеся матричные элементы, а именно матричные элементы MR по кварковым состояниям с равным импульсом p; нетрудно видеть, что характер расходимости в рассматриваемом примере одинаков как для диагональных, так и для недиагональных матричных элементов. Обозначим диагональные матричные элементы операторов M и MR соответственно через Mp и MRp. Тогда в калибровке Ферми-Фейнмана после простых вычислений из выражения (13.3) для этих матричных элементов получим