Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов, Индурайн Франсиско Хосе

Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

на обложку

Индурайн Франсиско Хосе

Шрифт:

Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (10.1) калибровочно-инвариантного выражения для тензора энергии-импульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает при замене обычных производных на ковариантные. Или, иначе, калибровочно-инвариантное выражение для тензора энергии-импульса можно получить из выражения (10.1), производя калибровочные преобразования одновременно с пространственно-временными трансляциями x– >x+. Например, если записать преобразование трансляции для глюонного поля B в виде Ba– >Ba + (Ba DBa + Ga),

то первое слагаемое в скобках можно устранить калибровочным преобразованием, так что мы получим Ba– >Ba + Ga .

q - g

q + g

–

+ 1/4 g

члены, фиксирующие калибровку + вклад духов.

(10.2)

Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.

Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан L инвариантен относительно преобразований вида

– >

f'=1

ff'

– >

f'=1

ff'

(10.3)

при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности nfxnf. Отсюда следует, что токи

qq'

(x)=q(x)

q'(x) ,

qq'

(x)=q(x)

q'(x)

(10.4)

сохраняются

каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане L учесть массовые члены, то сохраняется только диагональный ток Vqq; остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана L, описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака i

q=mqq приводит к следующим выражениям:

qq'

=i(m

– m

)

q' ;

qq'

=i(m

– m

)

q' .

(10.5)

Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (q/=q'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:

=i(m

)q(x)

q(x)+

(x)G

(x).

(10.6)

Это так называемая треугольная аномалия Адлера - Белла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.

Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем

– y

)

[

qq'

(x),q''(y)]=-(x-y)

qq''

q'(x)

– y

)

[

qq'

(x),q''(y)]=-(x-y)