Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Z
=
d
.
(12.3)
Функции , и можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины gu, mu и u не зависят от параметра :
=-Z
– 1
g
d
d
Z
g
,
m,q
=-Z
– 1
m
d
d
Z
m
,
=-Z
d
Z
– 1
d
.
(12.4)
Уравнение (12.1)
19) Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие =d4xL(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]3/2, полей духов []=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора S=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 - из элемента объёма четырёхмерного пространства d4x).
–
R
(p
1
,…,p
N-1
;g,m,a
– 1
;) = F(p
1
/,…,p
N-1
/;g,m/,a
– 1
).
Чтобы отличать масштаб изменения импульсов от калибровочного параметра, последний обозначим через a=– 1. Теперь, заменяя частную производную / на производную -/, получаем уравнение Каллана-Симанзика
{
–
log
+g
g
+(a
– 1
)
a
– 1
+
q
m
q
(
m,q
– 1)
m
q
+
–
}
x
R
(p
1
,…,p
N-1
;g,m,,)=0.
(12.5)
Чтобы
d
g
d log
=
g
(
g
) ,
d
m
d log
=
m
m,q
,
d
a
– 1
d log
=
a
– 1
,
(12.6 а)
и удовлетворяющие граничным условиям
g
=1
=g ,
m
=1
=m ,
a
=1
=a .
(12.6 б)
Тогда решение уравнения Каллана—Симанзика можно записать в виде
R
(p
1
,…,p
N-1
;g,m,;)
=
R
(p
1
,…,p
N-1
;
g
,
m
,
a
– 1
;)
x exp
{
–
log
0
d log '
(
g
('),
m
('),
a
(')
– 1
)
}
.
(12.7)
Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в раз функция Грина R не умножается просто на величину как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину обычно называют аномальной размерностью функции Грина R. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей21). Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.
21) Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].
Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.
§ 13. Перенормировка составных операторов
Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.